Question

Calcule o limite (Sem utilizar a regra L’Hopital)

lim x-> 4 [ (Raiz de 1+2x) -3] / (Raiz de x) -2

Answer 1

Olá,

$\sf \: lim_{x \to \: 4} \frac{ \sqrt{1 + 2x} - 3 }{ \sqrt{x} - 2 }$

Ao substituirmos x por 4 encontramos uma indeterminação do tipo 0/0, então, vamos simplificar esta expressão.

$\sf \: lim_{x \to \: 4} \frac{ \sqrt{1 + 2x} - 3 }{ \sqrt{x} - 2 } = \sf \: lim_{x \to \: 4} (\frac{ \sqrt{1 + 2x} - 3 }{ \sqrt{x} - 2 } )( \frac{ \sqrt{1 + 2x} + 3}{ \sqrt{1 + 2x} + 3} )( \frac{ \sqrt{ x } + 2}{ \sqrt{x} + 2} ) \\ \\ \sf \: lim_{x \to \: 4} \frac{ \sqrt{1 + 2x} - 3 }{ \sqrt{x} - 2 } = \sf \: lim_{x \to \: 4} ( \frac{( \sqrt{1 + 2x} {) - 3}^{2} }{( \sqrt{x} {)}^{2} - {2}^{2} } )( \frac{ \sqrt{x} + 2}{ \sqrt{1 + 2x} + 3 } ) \\ \\ \sf \: lim_{x \to \: 4} \frac{ \sqrt{1 + 2x} - 3 }{ \sqrt{x} - 2 } = \sf \: lim_{x \to \: 4} ( \frac{1 + 2x - 9}{x - 4} )( \frac{ \sqrt{x} + 2 }{ \sqrt{1 + 2x} + 3} ) \\ \\ \sf \: lim_{x \to \: 4} \frac{ \sqrt{1 + 2x} - 3 }{ \sqrt{x} - 2 } = \sf \: lim_{x \to \: 4} ( \frac{2x - 8}{x - 4} )( \frac{ \sqrt{x} + 2 }{ \sqrt{1 + 2x} + 3 } ) \\ \\ \sf \: lim_{x \to \: 4} \frac{ \sqrt{1 + 2x} - 3 }{ \sqrt{x} - 2 } = \sf \: lim_{x \to \: 4} \frac{2(x - 4)}{(x - 4)} (\frac{ \sqrt{x} + 2 }{ \sqrt{1 + 2x} + 3} ) \\ \\ \sf \: lim_{x \to \: 4} \frac{ \sqrt{1 + 2x} - 3 }{ \sqrt{x} - 2 } = \sf \: lim_{x \to \: 4} \frac{2 \cancel{(x - 4)}}{ \cancel{(x - 4)}} ( \frac{ \sqrt{x} + 2}{ \sqrt{1 + 2x} + 3} ) \\ \\ \sf \: lim_{x \to \: 4} \frac{ \sqrt{1 + 2x} - 3 }{ \sqrt{x} - 2 } = \sf \: 2 \: lim_{x \to \: 4} \frac{ \sqrt{x} + 2 }{ \sqrt{1 + 2x} + 3 } \\ \\ \sf \: lim_{x \to \: 4} \frac{ \sqrt{1 + 2x} - 3 }{ \sqrt{x} - 2 } = \sf \: 2( \frac{ \sqrt{4} + 2 }{ \sqrt{1 + 2(4)} + 3 } ) \\ \\ \sf \: lim_{x \to \: 4} \frac{ \sqrt{1 + 2x} - 3 }{ \sqrt{x} - 2 } = \sf \: 2( \frac{2+ 2 }{ \sqrt{1 + 8} + 3 } ) \\ \\ \sf \: lim_{x \to \: 4} \frac{ \sqrt{1 + 2x} - 3 }{ \sqrt{x} - 2 } = \sf \: 2( \frac{ 4}{ \sqrt{9} + 3 } ) \\ \\ \sf \: lim_{x \to \: 4} \frac{ \sqrt{1 + 2x} - 3 }{ \sqrt{x} - 2 } = \sf \: \frac{8 }{ {3 + 3} } \\ \\ \sf \: lim_{x \to \: 4} \frac{ \sqrt{1 + 2x} - 3 }{ \sqrt{x} - 2 } = \sf \: \frac{8}{6} \\ \\ \sf \: lim_{x \to \: 4} \frac{ \sqrt{1 + 2x} - 3 }{ \sqrt{x} - 2 } = \sf \: \frac{ \cancel{8} {}^{4} }{ \cancel{6} _{3}} \\ \\ \sf \: lim_{x \to \: 4} \frac{ \sqrt{1 + 2x} - 3 }{ \sqrt{x} - 2 } = \boxed{ \sf \: \frac{4}{3} }$