Question

Calcule o Limite se existir √x+2 - √2X / X² - 2X LIM --> 2

Answer 1

Não podemos aplicar a substituição direta então, vamos fazer o seguinte artificio:

$\lim_{x \to \ 2} \frac{ \sqrt{x+2}- \sqrt{2x} }{ x^{2} -2x} \\ \\ \lim_{x \to \ 2} \frac{ \sqrt{x+2}- \sqrt{2x} }{ x^{2} -2x} . \frac{ \sqrt{x+2}+ \sqrt{2x} }{ \sqrt{x+2}+ \sqrt{2x} }$

Temos que lembrar dos produtos notáveis onde:

(a + b)(a- b) = a²-b²

vamos aplicar isso na multiplicação dos dois numeradores das duas frações :

$\lim_{x \to \ 2} \frac{ \sqrt{x+2}- \sqrt{2x} }{ x^{2} -2x} . \frac{ \sqrt{x+2}+ \sqrt{2x} }{ \sqrt{x+2}+ \sqrt{2x} } \\ \\ \lim_{x \to \ 2} \frac{(\sqrt{x+2}- \sqrt{2x}).(\sqrt{x+2}+ \sqrt{2x})}{(x^{2} -2x)(\sqrt{x+2}+ \sqrt{2x})} \\ \\ \lim_{x \to \ 2} \frac{ (\sqrt{x+2})^{2} - (\sqrt{2x})^{2} }{(x^{2} -2x)(\sqrt{x+2}+ \sqrt{2x})} \\ \\ \lim_{x \to \ 2} \frac{ (x + 2) - (2x) }{(x^{2} -2x)(\sqrt{x+2}+ \sqrt{2x})}$

$\lim_{x \to \ 2} \frac{ -x + 2 }{(x^{2} -2x)(\sqrt{x+2}+ \sqrt{2x})} \\ \\ \lim_{x \to \ 2} \frac{ -x + 2 }{-x(-x +2)(\sqrt{x+2}+ \sqrt{2x})} \\ \\ \lim_{x \to \ 2} \frac{ 1 }{-x(\sqrt{x+2}+ \sqrt{2x})}$

Agora que não temos mais a indeterminação, podemos substituir já x = 2

$\lim_{x \to \ 2} \frac{ 1 }{-x(\sqrt{x+2}+ \sqrt{2x})} = \frac{1}{-2(\sqrt{2+2}+ \sqrt{2.2})} = \frac{1}{-2(\sqrt{4}+ \sqrt{4})} \\ \\ =\frac{1}{-2(2+ 2)} = \frac{1}{-2(4)} = \frac{1}{-8}$

Logo, 

$\lim_{x \to \ 2} \frac{ \sqrt{x+2}- \sqrt{2x} }{ x^{2} -2x} =- \frac{1}{8}$