Question

Calcule o limite, se existir:

$\lim_{h \to \+1} \frac{ \sqrt[3]{h} - 1 }{ \sqrt{h} - 1 }$

Answer 1

Olá Pablo!

Substituindo "h" por um, teremos uma indeterminação. Com isso, podemos aplicar L'Hospital; caso não tenha visto tal regra, fazemos...

$\\ \lim_{\mathsf{h \to 1}} \mathsf{\frac{\sqrt[3]{h} - 1}{\sqrt{h} - 1} =} \\\\\\ \lim_{\mathsf{h \to 1}} \mathsf{\frac{\sqrt[3]{h} - 1}{\sqrt{h} - 1} \times \frac{\sqrt{h} + 1}{\sqrt{h} + 1}=} \\\\\\ \mathsf{\lim_{\mathsf{h \to 1}} \frac{(\sqrt[3]{h} - 1)(\sqrt{h} + 1)}{h - 1}=}$
 
 Mas, da fatoração $\mathsf{a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)}$; tiramos que $\mathsf{h - 1 = (h^{\frac{1}{3}} - 1)(h^{\frac{2}{3}} + h^{\frac{1}{3}} + 1)}$.
 
 Com efeito,

$\\ \mathsf{\lim_{\mathsf{h \to 1}} \frac{(\sqrt[3]{\mathsf{h}} - 1)(\sqrt{h} + 1)}{h - 1}=} \\\\\\ \mathsf{\lim_{\mathsf{h \to 1}} \frac{(\sqrt[3]{\mathsf{h}} - 1)(\sqrt{h} + 1)}{(h^{\frac{1}{3}} - 1)(h^{\frac{2}{3}} + h^{\frac{1}{3}} + 1)}=} \\\\\\ \mathsf{\lim_{\mathsf{h \to 1}} \frac{(\sqrt[3]{\mathsf{h}} - 1)(\sqrt{h} + 1)}{(\sqrt[3]{\mathsf{h}} - 1)(\sqrt[3]{\mathsf{h^2}} + \sqrt[3]{\mathsf{h}} + 1)} =} \\\\\\ \mathsf{\lim_{\mathsf{h \to 1}} \frac{\sqrt{h} + 1}{\sqrt[3]{\mathsf{h^2}} + \sqrt[3]{\mathsf{h}} + 1} =}$

$\\ \mathsf{\frac{\sqrt{1} + 1}{\sqrt[3]{\mathsf{1^2}} + \sqrt[3]{\mathsf{1}} + 1} =} \\\\\\ \mathsf{\frac{1 + 1}{1 + 1 + 1} =} \\\\\\ \boxed{\mathsf{\frac{2}{3}}}$