Question

Calcule o limite, se existir. Caso contrário, justifique sua resposta alguém responde por favor
$\lim_{x \to \ 2} \frac{|x-2|}{x-2} \\\\ \lim_{x\to \ 0} \frac{sen(x^2+1/x)- sen(1/x)}{x}$

Answer 1

Pretendemos calcular:

$\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{|x-2|}{x-2}.$

Começamos por fazer a mudança de variável $u = x-2$. Quando $x \to 2$, tem-se $u \to 0$, donde:

$\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{|x-2|}{x-2} = \lim\limits_{u \to 0} \dfrac{|u|}{u}.$

Da definição de módulo, temos:

$|u| = \begin{cases}u, & \textrm{se } u \geq 0 \\\\ -u, & \textrm{se } u < 0\end{cases}.$

Portanto, para $u \neq 0$, vem:

$\dfrac{|u|}{u} = \begin{cases}1, & \textrm{se } u > 0 \\\\ -1, & \textrm{se } u < 0\end{cases}.$

Notamos então que para $u > 0$ a função toma o valor $1$, donde:

$\lim\limits_{u \to 0^+} \dfrac{|u|}{u} = \lim\limits_{u \to 0^+} 1 = 1.$

Por outro lado, para $u < 0$ a função toma o valor $-1$, donde:

$\lim\limits_{u \to 0^-} \dfrac{|u|}{u} = \lim\limits_{u \to 0^-} (-1) = -1.$

Assim, vem:

$\lim\limits_{u \to 0^-} \dfrac{|u|}{u} \neq \lim\limits_{u \to 0^+} \dfrac{|u|}{u},$

ou seja, os limites laterais são diferentes, pelo que concluímos que não existe o limite:

$\lim\limits_{u \to 0} \dfrac{|u|}{u}.$

Como tal:

$\lim\limits_{u \to 2} \dfrac{|x-2|}{x-2} \textrm{ n\~{a}o existe}.$

Pretendemos agora calcular:

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin\left(x^2 + \frac{1}{x}\right) - \sin\left(\frac{1}{x}\right)}{x}.$

O modo mais simples é aplicar fórmula do seno da soma:

$\sin\left(x^2+\frac{1}{x}\right) = \sin \left(x^2\right) \cos \left(\frac{1}{x}\right) + \cos \left(x^2\right) \sin \left(\frac{1}{x}\right).$

Assim, temos:

$\sin\left(x^2+\frac{1}{x}\right) - \sin\left(\frac{1}{x}\right) = \sin \left(x^2\right) \cos \left(\frac{1}{x}\right) + \cos \left(x^2\right) \sin \left(\frac{1}{x}\right) - \sin\left(\frac{1}{x}\right) = \\\\= \sin \left(x^2\right) \cos \left(\frac{1}{x}\right) + \sin\left(\frac{1}{x}\right)(\cos \left(x^2\right)-1).$

Pretendemos agora calcular:

$\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin \left(x^2\right) \cos \left(\frac{1}{x}\right) + \sin\left(\frac{1}{x}\right)(\cos \left(x^2\right)-1)}{x}.$

Notamos agora que:

$\left|\dfrac{\sin \left(x^2\right) \cos \left(\frac{1}{x}\right)}{x}\right| = \left|\dfrac{\sin \left(x^2\right)}{x}\right|\left| \cos \left(\frac{1}{x}\right)\right| \leq \left|\dfrac{\sin \left(x^2\right)}{x}\right| \to 0,$

pois $|\cos \theta| \leq 1, \, \forall \theta \in \mathbb{R}$ e, aplicando a regra de L'Hôpital, vem:

$\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin \left(x^2\right)}{x} \overset{\frac{0}{0}}{=} \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos\left(x^2\right)2x}{1} = \cos (0) \times 2 \times 0 = 0.$

Pelo teorema das funções enquadradas, vem:

$\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin \left(x^2\right) \cos \left(\frac{1}{x}\right)}{x} = 0.$

Por outro lado,

$\left|\dfrac{\sin\left(\frac{1}{x}\right)(\cos \left(x^2\right)-1)}{x}\right| = \left|\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right|\left|\dfrac{\cos \left(x^2\right)-1}{x}\right| \leq \left|\dfrac{\cos \left(x^2\right)-1}{x}\right| \to 0,$

pois $|\sin\theta| \leq 1, \, \forall \theta \in \mathbb{R}$ e, aplicando a regra de L'Hôpital, vem:

$\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\cos \left(x^2\right)-1}{x}\overset{\frac{0}{0}}{=} \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-\sin\left(x^2\right) 2x}{1} = -\sin \left(0\right) \times 2 \times 0 = 0.$

Pelo teorema das funções enquadradas, vem:

$\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin\left(\frac{1}{x}\right)(\cos \left(x^2\right)-1)}{x} = 0.$

Portanto, concluímos finalmente:

$\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin\left(x^2 + \frac{1}{x}\right) - \sin\left(\frac{1}{x}\right)}{x} = 0 + 0 = 0.$