Question

Calcule o limite reconhecendo primeiro a soma de Riemann no intervalo [ 0,1 ].


$\mathsf{lim_{n\to \infty}}~~\displaystyle\sum^{n}_{i=1}~\mathsf{(\frac{i^4}{n^5} +\frac{i}{n^2})}$

Answer 1

Resposta:

$\displaystyle\boxed{\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n \left(\dfrac{i^4}{n^5} + \dfrac{i}{n^2}\right) = \dfrac{7}{10}}.$

Explicação passo-a-passo:

Uma vez que:

$\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n \left(\dfrac{i^4}{n^5} + \dfrac{i}{n^2}\right) = \lim\limits_{n\to\infty} \left(\sum_{i=1}^n\dfrac{i^4}{n^5} + \sum_{i=1}^n\dfrac{i}{n^2}\right).$

O primeiro somatório pode ser reescrito na forma:

$\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{i^4}{n^5} = \sum_{i=1}^n\left(\dfrac{i}{n}\right)^4\dfrac{1}{n}.$

Considere agora a expressão com uma soma de Riemann genérica de uma função $f$ no intervalo $[0,1]$:

$\displaystyle\int\limits_0^1 f(x)\textrm{ d}x = \lim\limits_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \, \Delta x, \quad \textrm{com } x_i = i\Delta x \textrm{ e } \Delta x = \dfrac{1}{n}.$

Por comparação das duas expressões, concluímos que a função desejada é dada por $f(x) = x^4$, pelo que:

$\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n\left(\dfrac{i}{n}\right)^4\dfrac{1}{n} = \int\limits_0^1 x^4\textrm{ d}x = \left[\dfrac{x^5}{5}\right]_0^1 = \dfrac{1}{5}.$

Para o segundo somatório, tem-se:

$\displaystyle \sum_{i=1}^n\dfrac{i}{n^2} = \displaystyle \sum_{i=1}^n\dfrac{i}{n}\dfrac{1}{n},$

pelo que a função a considerar é agora $f(x) = x$.

Assim, vem:

$\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty} \displaystyle \sum_{i=1}^n\dfrac{i}{n}\dfrac{1}{n} = \int\limits_0^1 x\textrm{ d}x = \left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^1 = \dfrac{1}{2}.$

Portanto, concluímos que:

$\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n \left(\dfrac{i^4}{n^5} + \dfrac{i}{n^2}\right) = \dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{10}.$