Question

calcule o limite quando tende ao infinito, B e C me ajudem pfvr​

Answer 1

Resposta:

$b.\ \lim_{x \to \infty} (x - \sqrt{x^{2} + 1}) = 0$

Explicação passo a passo:

B) Se tentarmos substituir o limite sem fazer nenhuma manipulação matemática com a expressão $x - \sqrt{x^{2} + 1}$, teremos:

$\lim_{x \to \infty} (x - \sqrt{x^{2} + 1}) = \infty - \sqrt{\infty^{2} + 1} = + \infty - \infty$

Porém, "+ infinito - infinito" é uma indeterminação.

Por isso, precisamos fazer o que chamamos de "manipulações algébricas".

Tais manipulações consistem em tentar mudar a expressão dentro do limite sem alterá-la. Por exemplo, podemos multiplicar $x - \sqrt{x^{2} + 1}$ por $1$ e não haverá nenhuma alteração, não é mesmo?

Então, temos que achar uma expressão conveniente que também resulte em 1 para substituí-la nessa nossa multiplicação. Funciona assim:

$x - \sqrt{x^{2} + 1} * 1 = x - \sqrt{x^{2} + 1} \ (mudou \ nada)\\x - \sqrt{x^{2} + 1} * \frac{x + \sqrt{x^{2} + 1}}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} = x - \sqrt{x^{2} + 1} * 1 = x - \sqrt{x^{2} + 1}$

Mas por quê foi escolhida essa expressão? Porque com ela conseguimos retirar a indeterminação do limite. Confira:

$\lim_{x \to \infty} (x - \sqrt{x^{2} + 1}) = \lim_{x \to \infty} (x - \sqrt{x^{2} + 1} * \frac{x + \sqrt{x^{2} + 1}}{x + \sqrt{x^{2} + 1}})\\\lim_{x \to \infty} (x - \sqrt{x^{2} + 1}) = \lim_{x \to \infty} ( \frac{x - \sqrt{x^{2} + 1} \ * \ x + \sqrt{x^{2} + 1}}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} )\\\\Sabendo \ que: \ (a-b)\ *\ (a+b) = a^{2} - b^{2}, \ temos \ para \ a = x \ e \ b = \sqrt{x^{2}+1}:$

$\lim_{x \to \infty} (x - \sqrt{x^{2} + 1}) = \lim_{x \to \infty} (\frac{x^{2} - (\sqrt{x^{2}+1} )^{2}\\}{x + \sqrt{x^{2} + 1}})\\\lim_{x \to \infty} (x - \sqrt{x^{2} + 1}) = \lim_{x \to \infty} (\frac{x^{2} - ({x^{2}+1})\\}{x + \sqrt{x^{2} + 1}})\\\lim_{x \to \infty} (x - \sqrt{x^{2} + 1}) = \lim_{x \to \infty} (\frac{-1}{x+\sqrt{x^{2}+1}})$

Para retirar a indeterminação do denominador, podemos dividi-lo por x (que é o mesmo que multiplicá-lo por 1/x). Mas devemos fazer isso no numerador também.

Além disso, devemos lembrar que para 1/x "entrar" dentro da raiz quadrada, ele deve ser elevado ao quadrado. Ou seja, o 1/x "entra" na raiz como "1/x²". Fica assim:

$\lim_{x \to \infty} (x - \sqrt{x^{2} + 1}) = \lim_{x \to \infty} (\frac{\frac{1}{x} \ * \ -1 }{\frac{1}{x} \ * \ (x+ \sqrt{x^{2}+1})})\\\lim_{x \to \infty} (x - \sqrt{x^{2} + 1}) = \lim_{x \to \infty} (\frac{\frac{-1}{x}}{1 + \sqrt{(x^{2}+1) \ * \ \frac{1}{x^{2}}} })$

Como: $\sqrt{(x^{2}+1) \ * \ \frac{1}{x^{2}}} = \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}$, então:

$\lim_{x \to \infty} (x - \sqrt{x^{2} + 1}) = \lim_{x \to \infty} (\frac{\frac{-1}{x}}{1 + \sqrt{1+ \frac{1}{x^{2}}} })$

Agora, aplicando o limite, temos:

$\lim_{x \to \infty} (x - \sqrt{x^{2} + 1}) = \frac{\frac{-1}{\infty}}{1 + \sqrt{1+ \frac{1}{\infty^{2}}} } = \frac{0}{1+ \sqrt{1+0}} = \frac{0}{1+1} = 0$

C) Para resolver esse limite, é necessário usar a regra de L'Hopital, que consiste em derivar o numerador e o denominador. Fica assim:

$\lim_{x \to 0} (\frac{3x^{2}}{tan(x) \ * \ sin(x)} ) = \lim_{x \to 0} (\frac{\frac{d}{dx} (3x^{2} )}{ \frac {d}{dx} (tan(x)*sin(x)) })$

O numerador fica: $\frac{d}{dx}(3x^{2}) = 6x$

Para o denominador, devemos lembrar que a tangente de x é igual a seno de x dividido por cosseno de x. Assim:

$tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}$

Logo: $tan(x)*sin(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)} \ * \ sin(x) = \frac{sin(x)^{2}}{cos(x)}$

Para derivar essa divisão, em que o numerador é sin(x)² e o denominador é cos(x), podemos usar a regra:

(derivada do numerador vezes o denominador - numerador vezes derivada do denominador) dividido pelo numerador ao quadrado. Assim:

$\frac{d}{dx}(\frac{sin(x)^{2}}{cos(x)}) = \frac{ \frac{d}{dx}(sin(x)^{2}) \ * \ cos(x) - sin(x)^{2} \ * \ \frac{d}{dx}(cos(x)) }{ cos(x)^{2} }$

Podemos derivar seno de x ao quadrado derivando a função "de fora" e multiplicando pela "função de dentro", o que resulta em 2 vezes sin(x) vezes cos(x). E a derivada do cos(x) é -sin(x).

Portanto:

$\frac{d}{dx}(\frac{sin(x)^{2}}{cos(x)}) = \frac{ \frac{d}{dx}(sin(x)^{2}) \ * \ cos(x) - sin(x)^{2} \ * \ \frac{d}{dx}(cos(x)) }{ cos(x)^{2} }\\\\\frac{d}{dx}(\frac{sin(x)^{2}}{cos(x)}) = \frac{2 \ * \ sin(x) \ * \ cos(x) \ * \ cos(x) - \ sin(x)^{2} \ * \ (- sin(x)) } { cos(x)^{2} }$

Lembrando que 2 vezes seno de x vezes cosseno de x é igual a 2 vezes seno de 2x. Então:

$\frac{d}{dx}(\frac{sin(x)^{2}}{cos(x)}) = \frac{2 \ * \ sin(2x) \ * \ cos(x) + \ sin(x)^{3}} { cos(x)^{2} }$

Se aplicarmos a regra de L'Hopital novamente, ficaremos com:

$\frac{d}{dx}(\frac{sin(x)^{2}}{cos(x)}) = \frac{\frac{d}{dx}(2 \ * \ sin(2x) \ * \ cos(x) + \ sin(x)^{3})} { \frac{d}{dx}cos(x)^{2} }$