Question

Calcule o limite, para x tendendo a (-1) da função: f(x)=3x2 - 3x-6/x2-1

Answer 1

Temos o seguinte limite:

$\ast \: \sf \lim_{x \rightarrow - 1}f(x) = \lim_{x \rightarrow - 1} \frac{3x {}^{2} - 3x - 6 }{x {}^{2} - 1 } \: \ast$

Primeiramente vamos substituir o valor a qual o "x" tende para que possamos ver se há ou não indeterminação:

$\sf \frac{3.( - 1) {}^{2} - 3.( - 1) - 6}{ ( - 1) {}^{2} - 1} = \frac{3.1 + 3 - 6}{1 - 1} = \frac{6 - 6}{1 - 1} = \boxed{\sf\frac{0}{0} }$

De fato, surgiu uma indeterminação do tipo 0/0, para que essa indeterminação suma e fique possível resolver o limite, temos duas formas de tornar possível.

• 1) Aplicando a regra de L'hospital.

• 2) Manipulação algébrica.

Tentarei fazer das duas formas:

• Primeira forma:

Vamos colocar em evidência o número "3" do numerador:

$\sf \frac{3x {}^{2} - 3x - 6}{x {}^{2} - 1} = \frac{3.(x {}^{2} - x - 2) }{x {}^{2} - 1 }$

Note que surgiu uma expressão do segundo grau que é bem mais fácil ser fatorada:

$\sf \frac{3.(x + 1).(x - 2)}{(x {}^{2} - 1) }$

Fatorando o produto notável do denominador, ficaremos com:

$\sf \frac{3. \cancel{(x + 1)}.(x - 2)}{ \cancel{(x + 1)}.(x - 1)} = \frac{3.(x - 2)}{x - 1} = \frac{3x - 6}{x - 1}$

Agora é só substituir o valor a qual o "x" tende nessa nova expressão:

$\sf \frac{3x - 6}{x - 1} = \frac{3.( - 1) - 6}{ - 1 - 1} = \frac{ - 3 - 6}{ - 2} = \frac{ - 9}{ - 2} = \boxed{\sf\frac{ 9}{2} }$

• Segunda forma

A regra de L'hospital consiste em você derivar o denominador e o numerador, então vamos fazer isso:

$\sf \frac{f(x)}{g(x) } = \frac{3x {}^{2} - 3x - 6 }{x {}^{2} - 1} = \frac{f(x)' }{g(x ) ' } = \frac{(3x {}^{2} - 3x - 6) ' }{(x {}^{2} - 1)'}$

Derivando:

$\sf (3x {}^{2} - 3x - 6)' = \star \: 6x - 3 \star \: \\ \\ \sf (x {}^{2} - 1) = \star\: 2x \: \star$

Portanto, vamos ter que:

$\sf \frac{(3x {}^{2} - 3x - 6) '}{(x {}^{2} - 1)'} = \frac{6x - 3}{2x}$

Para finalizar, é só substituir o valor a qual o "x" tende:

$\sf \frac{6x - 3}{2x} = \frac{6.( - 1) - 3}{2. ( - 1)} = \frac{ - 6 - 3}{ - 2} = \frac{ - 9}{ - 2} = \boxed{\sf\frac{9}{2} }$

Com isso, concluímos que nossa resposta é:

$\boxed{\lim_{ \sf x \rightarrow - 1} \sf\frac{3x {}^{2} - 3x - 6 }{x {}^{2} - 1} = \frac{9}{2} }$

Espero ter ajudado