Matemática, perguntado por MatheusBC2, 6 meses atrás

"Calcule o limíte"
Olá, alguém poderia me ajudar com estes limites? Eu estou com um pouco de dificuldade em resolvê-los.
Lim ( (1 + h)^4 - 1)/h
X - 0
Lim ((3+h)^-1 - 3^-1)/h
X - 0

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por MuriloAnswersGD
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  • 1° Limite = 4

  • 2° Limite = -1/9

Limites

  • O que são limites?

Limite Tem como objetivo mostrar comportamento de uma função nos momentos de aproximação de determinados valores. No caso desse limite "h" tende a 0, em ambos os limites, a resolução é bem simples, acompanhe Cálculo Abaixo, vou cálcular o 1° limite e depois o 2°

1)  \Large\boxed{ \boxed{ \sf\underset{h\to0}{lim} \dfrac{{(1 + h) }^{4}  - 1}{h} }}

Substituindo "h" por zero:

~

 \Large  \sf\underset{h\to0}{lim} \dfrac{{(1 + h) }^{4}  - 1}{h} \\\\ \Large \sf\underset{h\to0}{lim} \dfrac{{(1 + 0) }^{4}  - 1}{0} \\\\\Large \sf\underset{h\to0}{lim} \dfrac{1-1}{0} \\\\\Large\sf\underset{h\to0}{lim} \dfrac{0}{0}

~

Limite deu uma Indeterminação Matemática do tipo 0/0, vamos fazer algumas manipulações Álgebricas e fazer esse resultado sumir. Em um limite quando temos Indeterminaçoes do tipo 0/0, podemos aplicar a famosa Regra de L'hospital que consiste em Derivar Numerador e Denominador. Nesse caso vamos aplicar as seguintes Regras da derivação:

 \Large  \boxed{ \begin{array}{lr} \\  \boxed{ \begin{array}{lr} \\ \sf f(x) = c\Rightarrow f'(x) = 0 \\ \sf f(x) = x\Rightarrow f'(x) = 1  \\  \:  \end{array}} \:  \\  \:  \end{array}}

Aplicamos essas regras da derivação e Resolvemos o limite, Veja:

~

 \Large  \sf\underset{h\to0}{lim} \dfrac{{(  \frac{d}{dh} [1 + h]) }^{4}  -  \frac{d}{dh} [ 1]}{ \frac{d}{dh} [ h] } \\  \\ \Large \sf\underset{h\to0}{lim} \dfrac{{4(1 + h) }^{3} }{1} \\  \\  \sf substitui\: h \: por \:  \bf{zero} \\  \\  \Large  \sf\underset{h\to0}{lim} \dfrac{{4(1 +  0) }^{3} }{1} \\  \\ \Large  \sf\underset{h\to0}{lim} \dfrac{4  }{1} \\  \\\Large  \sf\underset{h\to0}{lim}   4

~

➡️ Resposta:

 \Huge \boxed{ \boxed{ \sf\underset{h\to0}{lim} \dfrac{{(1 + h) }^{4}  - 1}{h} = 4 }}

~

 \Large\sf \: —————– LATEX ———–———–

~

2)  \Large\boxed{ \boxed{ \sf\underset{h\to0}{lim} \dfrac{{(3 + h) }^{-1}  - {3}^{-1} }{h} }}

Substituindo "h" por zero:

~

 \Large\sf\underset{h\to0}{lim} \dfrac{{(3 + h) }^{-1}  - {3}^{-1} }{h} \\  \\ \Large\sf\underset{h\to0}{lim} \dfrac{{(3 + 0) }^{-1}  - {3}^{-1} }{0} \\  \\ \Large\sf\underset{h\to0}{lim} \dfrac{{3 }^{-1}  - {3}^{-1} }{0} \\  \\ \Large\sf\underset{h\to0}{lim} \dfrac{ \dfrac{1}{3} -  \dfrac{1}{3}   }{0} \\  \\ \Large\sf\underset{h\to0}{lim} \dfrac{0}{0}

~

Ali acima na parte do 3^-1, ele virou uma Fração, isso é uma propriedade da Potênciação em que, quando temos uma potência com Expoente Negativo, convertermos e uma Fração e o Númerador vai ser 1, isso pode ser expresso na seguinte Propriedade:

 \:\:\: \Large \boxed{\boxed{\tt {a}^{-n} = \dfrac{1}{{a}^{n}}}}

Voltando, como vimos o limite deu uma Indeterminação Matemática do tipo 0/0, vamos fazer algumas manipulações Álgebricas e fazer esse resultado sumir. Em um limite quando temos Indeterminaçoes do tipo 0/0, podemos aplicar a famosa Regra de L'hospital que consiste em Derivar Numerador e Denominador. Nesse caso vamos aplicar as seguintes Regras da derivação:

 \Large  \boxed{ \begin{array}{lr} \\  \boxed{ \begin{array}{lr} \\ \sf f(x) = c\Rightarrow f'(x) = 0 \\ \sf f(x) = x\Rightarrow f'(x) = 1  \\  \:  \end{array}} \:  \\  \:  \end{array}}

As mesmas que usamos na resolução do limite anterior, aplicamos essa regras e resolvemos o Limite:

 \Large\sf\underset{h\to0}{lim} \dfrac{{ \frac{d}{dh}[ (3 + h)] }^{-1}  - \frac{d}{dh}[{3}^{-1} ]}{\frac{d}{dh}[h]} \\  \\ \Large\sf\underset{h\to0}{lim} \dfrac{{ -  (3 + h) }^{-2}  - 0 }{1} \\  \\ \sf substitui \: h \: por \:  \bf{zero} \\   \\  \Large\sf\underset{h\to0}{lim} \dfrac{{ -  (3 + 0) }^{-2}  - 0 }{1} \\  \\ \Large\sf\underset{h\to0}{lim} \dfrac{{ -  3}^{-2} }{1} \\  \\ \Large\sf\underset{h\to0}{lim} \dfrac{ \dfrac{1}{ { - 3}^{2} }  }{1} \\  \\ \Large\sf\underset{h\to0}{lim} \dfrac{  - \dfrac{1}{ 9}  }{1} \\  \\  \Large\sf\underset{h\to0}{lim}  - \dfrac{1}{9}

➡️ Resposta:

\Huge\boxed{ \boxed{ \sf\underset{h\to0}{lim} \dfrac{{(3 + h) }^{-1}  - {3}^{-1} }{h} = \dfrac{1}{9} }}

 \Large\sf \: —————– LATEX ———–———–

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 \Large\sf \: —————– LATEX ———–———–

\Huge \boxed{ \boxed{ \mathbb{M}\sf{uri}\tt{lo}\bf{G\Delta}}}

Anexos:

MuriloAnswersGD: Muito obrigado Fireclassis!
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