Question

Cálcule o limite
Limx->1 (2x+1/x-1)

Answer 1

Esse limite não existe!

Vamos avaliar o sinal da função

$f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}$

Estudaremos o sinal do numerador e do denominador, depois faremos o quociente de sinais e teremos o estudo de sinais da função racional

Estudando o sinal do numerador:

$2x+1~\textgreater~0~~~\therefore~~~2x~\textgreater-1~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{x~\textgreater-\dfrac{1}{2}}}\\\\\\2x+1~\textless~0~~~\therefore~~~2x~~\textless-1~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{x~\textless-\dfrac{1}{2}}}$

Estudando o sinal do denominador:

$x-1~\textgreater~0~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{x~\textgreater~1}}\\\\x-1~\textless~0~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{x~\textless~1}}$

Fazendo o estudo de sinais do quociente, temos que

$f(x)~\textgreater~0~~~se~x\in(-\infty,-\frac{1}{2})\cup(1,+\infty)\\\\f(x)~\textless~0~~~se~x\in(-\frac{1}{2},1)$
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Então, temos os limites laterais:

$\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}\dfrac{2x+1}{x-1}$

Não sabemos ao certo qual o valor do limite (que inclusive não é numérico), mas sabemos que a função possui é negativa para x arbitrariamente próximo de 1 à esquerda

$\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}\dfrac{2x+1}{x-1}$

Da mesma forma, não sabemos seu valor, mas a função é positiva para x > 1

Como os limites laterais são diferentes, o limite não existe!
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OBS:

$\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)=-\infty\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}f(x)=+\infty$

Ou seja, x = 1 é uma assíntota vertical ao gráfico de f. O gráfico está em anexo para esclarecer possíveis dúvidas (e mostrar a assíntota)