Question

Calcule o limite:
lim (x²y-y²x /x²-y²):

x-1
y→1

Answer 1

O limite da função $\displaystyle \lim _{x - 1 ;\ y- 1} \ \frac{x^{2} y-y^{2} x}{x^{2} -y^{2}}$ é 1/2

Limite de uma função racional

Se uma função f tem um limite X em um ponto t, significa que o valor de f pode ser tão próximo de X quanto você quiser, com pontos próximos o suficiente de t, mas diferentes. A ideia de proximidade é fundamental no limite de uma função.

Em geral, calcular o limite de uma função "normal", quando x tende a um número real, é fácil, basta aplicar as regras de cálculo, substituindo a variável independente pelo valor real para o qual x tende. Neste caso é uma função racional e o limite tende a duas variáveis, se olharmos substituindo o valor da tendência 1 nas variáveis ​​vemos que seu resultado não existe pois nos dá uma solução dividida por zero:

                                    $\frac{x^2y-y^2x}{x^2-y^2}=\frac{(1)^2(1)-(1)^2(1)}{(1)^2-(1)^2}=\frac{1}{0}= \displaystyle \nexists$

Então, para resolver essa inconsistência, a primeira coisa é reduzir o polinômio racional à sua função mínima:

                              $\frac{x^2y-y^2x}{x^2-y^2}=\frac{xy(x-y)}{(x-y)(x+y)} =\frac{xy}{x+y}$

Agora podemos calcular o limite:

                                $\displaystyle \lim _{x- 1\ y- 1} \ \frac{x^{2} y-y^{2} x}{x^{2} -y^{2}}= \ \lim _{x- 1\ y- 1} \ \frac{xy}{x+y} =\lim _{x- 1\ y- 1} \ \frac{( 1)( 1)}{1+1} =\frac{1}{2}$

Vemos que o limite da função dada é 1/2.

Se você quiser ler mais sobre o limite de uma função, você pode ver este link:

https://brainly.com.br/tarefa/25625278

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