Matemática, perguntado por PedroMaruno, 6 meses atrás

Calcule o limite lim(x -> 4) x - 4 / raiz quadrada de x -2

Soluções para a tarefa

Respondido por Lukyo

Resposta: 4.

Explicação passo a passo:

Calcular o limite

$\displaystyle\lim_{x\to 4}\frac{x-4}{\sqrt{x}-2}$

Faça uma mudança de variável:

$\sqrt{x}=u\quad\Longrightarrow\quad x=u^2$

e $u\to 2$ quando $x\to 4.$ Logo, o limite fica

$\displaystyle=\lim_{u\to 2}\frac{u^2-4}{u-2}\\\\\\\displaystyle=\lim_{u\to 2}\frac{u^2-2^2}{u-2}$

Fatore o numerador para simplificar a fração:

$\displaystyle=\lim_{u\to 2}\frac{(u-2)(u+2)}{u-2}\\\\\\=\lim_{u\to 2}u+2\\\\=2+2\\\\=4\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}$

Dúvidas? Comente.

Bons estudos!

Respondido por Baldério

O limite em questão tem um resultado igual a 4.

Para o limite em questão, identificamos imediatamente que há uma indeterminação matemática do tipo 0 / 0. Para nos livrarmos dessa indeterminação, vamos utilizar a regra do conjugado. Multiplicaremos toda a expressão do limite pelo conjugado do denominador do mesmo, que é o "local do problema". Vejamos:

$\sf{\left[\dfrac{x-4}{\sqrt{x}-2}\right]\cdot \left[\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2}\right]}\\ \\ \\ \sf{\left[\dfrac{(x-4)\cdot(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2)\cdot (\sqrt{x}+2)}\right]$

Observando o denominador da fração acima, percebemos claramente que temos uma diferença entre dois quadrados, o que nos permite dizer que:

$\sf{(a-b)(a+b)=a^2-b^2}$

Aplicando na nossa expressão, teremos:

$\sf{\left[\dfrac{(x-4)\cdot(\sqrt{x}+2)}{ (\sqrt{x})^2-2^2}\right]}\\ \\ \\ \sf{\sf{\left[\dfrac{\diagup\!\!\!\!\!(x-4)\cdot(\sqrt{x}+2)}{ \diagup\!\!\!\!\!(x-4)}\right]}}\\ \\ \\ \sf{\sqrt{x}+2}$

Com a indeterminação removida, voltamos ao limite e aplicamos o valor para o qual o mesmo tende:

$\sf{\displaystyle\lim_{x\;\to\;4}\;\dfrac{x-4}{\sqrt{x}-2}=\displaystyle\lim_{x\;\to\;4}\;[\sqrt{x}+2]}\\ \\ \\ \sf{L=2+2}\\ \\ \large\boxed{\boxed{\sf{L=4}}}~\checkmark~$