Question

Calcule o limite: lim (x + 3) ^3 -27 / x, quando x tende a 0

Answer 1

Usaremos a seguinte fatoração:

$\boxed{\boxed{\mathsf{a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})}}}$
______________________________

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{(x+3)^{3}-27}{x}=\lim_{x\to0}\dfrac{(x+3)^{3}-3^{3}}{x}$

Usando a fatoração, temos que

$(x+3)^{3}-3^{3}=([x+3]-3)([x+3]^{2}+[x+3]\cdot3+3^{2})\\\\(x+3)^{3}-3^{3}=(x+3-3)\cdot([x+3]^{2}+3[x+3]+9)\\\\(x+3)^{3}-3^{3}=x\cdot\big([x+3]^{2}+3[x+3]+9\big)$

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$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{(x+3)^{3}-27}{x}=\lim_{x\to0}\dfrac{x\cdot\big([x+3]^{2}+3[x+3]+9\big)}{x}$

Cancelando $x$ (podemos fazer pois $x\to0~\Rightarrow~x\neq0$):

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{(x+3)^{3}-27}{x}=\lim_{x\to0}\big([x+3]^{2}+3[x+3]+9\big)$

Agora não há mais indeterminação, então podemos substituir $x=0$ na expressão:

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{(x+3)^{3}-27}{x}=(0+3)^{2}+3(0+3)+9\\\\\\\lim_{x\to0}\dfrac{(x+3)^{3}-27}{x}=3^{2}+3\cdot3+9\\\\\\\lim_{x\to0}\dfrac{(x+3)^{3}-27}{x}=9+9+9\\\\\\\boxed{\boxed{\lim_{x\to0}\dfrac{(x+3)^{3}-27}{x}=27}}$