Calcule o limite:
lim (tg x – tg a)/tg(x – a)
x → a
sem usar as Regras de L'Hospital.
Soluções para a tarefa
Respondido por
1
Bom dia, Lukyo!
Como não podemos usar L'Hospital, vamos usar a álgebra. Lembre-se da fórmula da tangente da subtração:
Vamos ao limite:
![\lim_{x \to a} \dfrac{tg(x)-tg(a)}{tg(x-a)} =\lim_{x\to a}\dfrac{tg(x)-tg(a)}{\frac{tg(x)-tg(a)}{1+tg(x)\cdot tg(a)}}=\\ \\ \\ =\lim_{x\to a}[1+tg(x)\cdot tg(a)]\\ \\ =1+tg^2a\\ \\ \boxed{=sec^2 a}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Clim_%7Bx+%5Cto+a%7D+%5Cdfrac%7Btg%28x%29-tg%28a%29%7D%7Btg%28x-a%29%7D+%3D%5Clim_%7Bx%5Cto+a%7D%5Cdfrac%7Btg%28x%29-tg%28a%29%7D%7B%5Cfrac%7Btg%28x%29-tg%28a%29%7D%7B1%2Btg%28x%29%5Ccdot+tg%28a%29%7D%7D%3D%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C+%3D%5Clim_%7Bx%5Cto+a%7D%5B1%2Btg%28x%29%5Ccdot+tg%28a%29%5D%5C%5C+%5C%5C+%3D1%2Btg%5E2a%5C%5C+%5C%5C+%5Cboxed%7B%3Dsec%5E2+a%7D "\lim_{x \to a} \dfrac{tg(x)-tg(a)}{tg(x-a)} =\lim_{x\to a}\dfrac{tg(x)-tg(a)}{\frac{tg(x)-tg(a)}{1+tg(x)\cdot tg(a)}}=\\ \\ \\ =\lim_{x\to a}[1+tg(x)\cdot tg(a)]\\ \\ =1+tg^2a\\ \\ \boxed{=sec^2 a}")
Como não podemos usar L'Hospital, vamos usar a álgebra. Lembre-se da fórmula da tangente da subtração:
Vamos ao limite:
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