Question

Calcule o limite indeterminado a seguir:

Obs.: sem a regra de l'hopital.

Answer 1

Para calcular o limite sem usar a regra de l'Hôpital, começamos por recordar que as séries de MacLaurin das funções $\sin x$, $\tan x$ e $\ln(1+x)$ mostram que:

• $\sin x = x + \mathcal{O}(x^3)$;

• $\tan x = x + \mathcal{O}(x^3)$;

• $\ln(1+ x) = x + \mathcal{O}(x^2)$.

No limite em que $x\to 0$, podemos desprezar os termos de ordem superior à primeira, pelo que o limite é igual a:

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(2^x-1)^3}{x \times x \times x} = \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(2^x-1)^3}{x^3}$.

Das propriedades do logaritmo, vem:

$2^x = e^{\ln 2^x} = e^{x\ln 2}$.

A série de MacLaurin $e^t = 1 + t + \mathcal{O}(t^2)}$ permite escrever, tomando $t = x\ln 2$:

$2^x = e^{x\ln 2} = 1 + x\ln 2 + \mathcal{O}(x^2)$.

Assim, desprezando os termos de ordem superior à primeira, o limite pode ser calculado trivialmente:

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(2^x-1)^3}{x^3} = \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(1 + x\ln 2 -1)^3}{x^3} =\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{x^3 \ln^3 2}{x^3} = \ln^3 2$.