Question

Calcule o limite (está na foto)​

Answer 1

Resposta:

1 para os dois

Explicação passo-a-passo:

Você pode fatorar o "x" no númerador e denominador, para ambas as questões.

P.154

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \, \dfrac{\sqrt x}{ \sqrt{x +\sqrt{x + \sqrt x}}}$

Vamos fatorar o x no denominador:

$\sqrt{x +\sqrt{x + \sqrt x}} = \sqrt{x\left(1 +\dfrac{\sqrt{x + \sqrt x}}x\right)} = \sqrt{x} \,\sqrt{1 +\sqrt{ \dfrac{x + \sqrt x}{x^2}}} \\[2ex]\\\phantom{ \sqrt{x +\sqrt{x + \sqrt x}}} = \sqrt x \, \sqrt{1 +\sqrt{ \dfrac 1x + \sqrt{ \dfrac{x}{x^4} }}} = \sqrt x \, \sqrt{1 +\sqrt{ \dfrac 1x + \sqrt{ \dfrac{1}{x^3} }}}$

Com isso a indeterminação some e portanto:

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt x}{\sqrt{1 + \sqrt{ x + \sqrt{x}}}} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{\sqrt{1 + \sqrt{ \dfrac 1x + \sqrt{\dfrac 1{x^3}}}}} = 1$

P.155

Fatorando o raiz (x+1) temos

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{x + \sqrt{ x + \sqrt{x}}}} {\sqrt {x+1}}= \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{x + \sqrt{ x + \sqrt{x}}}} {\sqrt {x} \sqrt{1 + \dfrac 1x}}= \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{x + \sqrt{ x + \sqrt{x}}}} {\sqrt {x} }\cdot \dfrac{1}{\sqrt{1 + \dfrac 1x}}$

Pela questão anterior, sabemos que a primeira fração tende a 1. Como a segunda também tende a 1, a resposta final é 1.

Obs.: Apesar de não serem polinômios, para esse tipo de limite, expressões com radicais se comportam da mesma forma. O numerador e denominador dessas expressões são como 'polinômios de grau 1/2'. Como o 'coeficiente lider' é 1, o limite será 1. Por exemplo, o limite abaixo

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \, \dfrac{3x^2 + \sqrt[4]{\pi x^3 + 22} + (x-3)^{3/2}}{\sqrt[3]{2x^6 + \sqrt {x^3 }+ \sqrt{2x - 17,2} }}$

tem como resposta  3 / ∛2, pois o numerador se comporta assintoticamente como um polinomio de grau 2 e coeficiente lider 3 e o denominador também como polinomio de grau 2 e coeficiente lider ∛2. Você pode fatorar x² tanto no numerador e no denominador como fizemos pras questões acima.