Question

Calcule o limite de $\sqrt{x^{2}+4 } - 2 / x^{3} + 2x^{2}$, com x tendendo a 0

Answer 1

Resposta:

$\dfrac{{1}}{8}$

Explicação passo-a-passo:

$\lim_{x\to0}\dfrac{\sqrt{x^2+4}-2}{x^3+2x^2} \\\\ \lim_{x\to0}\dfrac{\sqrt{x^2+4}-2}{x^3+2x^2}\cdot\dfrac{\sqrt{x^2+4}+2}{\sqrt{x^2+4}+2}}} \\\\ \lim_{x\to0}\dfrac{{x^2+4}-4}{x^3+2x^2(\sqrt{x^2+4}+2)}\\\\\lim_{x\to0}\dfrac{{x^2}}{x^2(x+2)(\sqrt{x^2+4}+2)}\\\\\lim_{x\to0}\dfrac{{1}}{(x+2)(\sqrt{x^2+4}+2)}\\\\\lim_{x\to0}\dfrac{{1}}{(0+2)(\sqrt{(0)^2+4}+2)}\\\\\lim_{x\to0}\dfrac{{1}}{2(2+2)}=\dfrac{{1}}{8}$

Answer 2

Resposta:

$\boxed{\bold{\dfrac{1}{8}~~\checkmark}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos o seguinte limite, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Seja o limite:

$\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{\sqrt{x^2+4}-2}{x^3+2x^2}$

Multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador: $\dfrac{\sqrt{x^2+4}+2}{\sqrt{x^2+4}+2}$

$\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{\sqrt{x^2+4}-2}{x^3+2x^2}\cdot\dfrac{\sqrt{x^2+4}+2}{\sqrt{x^2+4}+2}$

Aplicando a propriedade do produto da soma pela diferença, teremos

$\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{x^2+4-4}{(x^3+2x^2)\cdot(\sqrt{x^2+4}+2)}$

Cancele os termos opostos no numerador

$\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{x^2}{(x^3+2x^2)\cdot(\sqrt{x^2+4}+2)}$

Simplifique a fração por um fator $x^2$

$\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{1}{(x+2)\cdot(\sqrt{x^2+4}+2)}$

Visto que as funções são contínuas em $x=0$, aplique a propriedade de limites: $\underset{x\rightarrow c}{\lim}~f(x)=f(c)$.

$\dfrac{1}{(0+2)\cdot(\sqrt{0^2+4}+2)}$

Calcule as potências e some os valores

$\dfrac{1}{2\cdot(\sqrt{4}+2)}$

Sabendo que $\sqrt{4}=2$, temos

$\dfrac{1}{2\cdot(2+2)}$

Some e multiplique os valores

$\dfrac{1}{2\cdot4}\\\\\\\\ \dfrac{1}{8}$

Este é o valor deste limite.