Question

Calcule o limite de (estão na foto)​

Answer 1

A dica pra todos esses é fatorar. Vamos usar algumas das seguintes fatorações:

x² - y² = (x-y)(x+y)

x³- y³ = (x-y) (x²+xy+y²)      ( I )

x⁴ - y⁴ = (x-y)(x³ + x²y + xy² + y³)

x⁵ + y⁵ = (x-y) ( x⁴ + x³y + x²y² + xy³ + y⁴)

De maneira geral, xⁿ- yⁿ é sempre divisível por x-y:

xⁿ - yⁿ = (x-y) ( xⁿ⁻¹ + xⁿ⁻²y + ...+ xyⁿ⁻² + yⁿ⁻¹)

Já a soma xⁿ+ yⁿ vai ser divisível por x+y se n for impar:

x³ + y³ = (x+y) ( x² - xy + y²)

x⁵ + y⁵ = (x+y) ( x⁴ - x³y + x²y² - xy³ + y⁴)

x⁷ + y⁷ = (x+y) ( x⁶ - x⁵y + x⁴y² - x³y³ + x²y⁴- xy⁵ + y⁶)

e assim por diante.

Não é muito óbvio ver esses produtos notáveis nesses limites, daí vou fazer uma mudança de variavel adequada para sumir com as raízes e deixar as fatorações mais evidentes.

P.134

vamos trocar x+1 por y⁶. Assim, quando x tende a 0, y tende a 1. Com essa mudança o limite fica:

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x+1} - 1}{\sqrt[3]{x+1} - 1} = \lim_{y \to 1} \,\dfrac{y^3 - 1}{y^2 - 1}$

Agora é só usar as fatorações:

$\displaystyle \lim_{y \to 1} \,\dfrac{y^3 - 1}{y^2 - 1} = \lim_{y \to 1} \,\dfrac{(y - 1)(y^2 + y + 1)}{(y - 1)(y+1)} = \lim_{y \to 1} \,\dfrac{y^2+ y + 1}{y + 1} = \dfrac{3}{2}$

P.136

Nesse vamos fazer x = y⁶. Quando x tende a 64, y tende a 2. Daí temos:

$\displaystyle \lim_{x \to 64} \dfrac{\sqrt x - 8}{\sqrt[3] x - 4} = \lim_{ y \to 2} \dfrac{y^3 - 2^3}{y^2 - 2^2} = \lim _{y \to 2} \, \dfrac{(y-2)(y^2 + 2y + 4)}{(y-2)(y+2)} = \dfrac{12}{4} = 3$

P.137

Nesse vamos usar x = y¹², se x tende a 1, então y tende a 1 também. Logo:

$\displaystyle \lim_{x \to1}\, \dfrac{\sqrt[3]x - 1}{\sqrt[4] x - 1} = \lim_{ y \to 1} \dfrac{y^4 - 1}{y^3 - 1} = \lim _{y \to 1} \, \dfrac{(y-1)(y^3 + y^2 + y + 1)}{(y-1)(y^2 + y + 1)} = \dfrac{4}{3}$

P.140

Esse parece um pouco diferente, mas no fundo é a mesma coisa. Vamos resolver de duas formas.

Na primeira maneira, vamos "sumir" a raiz usando a fatoração ( I ). Para isso multiplicamos o numerador e o denominador por

$\sqrt[3]{(x+h)^2} + \sqrt[3]{x(x+h)} + \sqrt[3]{x}$

Pois pela fatoração temos:

$(x+h) - x = \left( \sqrt[3]{x+h} - \sqrt[3] x\right) \left(\sqrt[3]{(x+h)^2} + \sqrt[3]{x(x+h)} + \sqrt[3]{x} \right)$

Com isso o limite fica:

$\displaystyle \lim_{h \to 0} \, \dfrac{\sqrt[3]{x+h} - \sqrt[3] x}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{(x-h)-x}{h \left( \sqrt[3]{(x+h)^2} + \sqrt[3]{x(x+h)} + \sqrt[3]{x} \right)}$

Cortando o h do numerador e denominador, a indeterminação some:

$\displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{1}{\sqrt[3]{(x+h)^2} + \sqrt[3]{x(x+h)} + \sqrt[3]{x} } = \dfrac{1}{3 \sqrt[3] {x^2}} = \dfrac { x^{-\frac 23}}3$

Na segunda maneira, vamos fazer uma mudança de variável que mostra que esse limite também é da "mesma família". Observe que nesse limite a variavel é h, e não x (x aqui faz o papel de "a" nas outras questões que vc postou). Primeiro vamos trocar h por u - x (a variável é o u). Como h tende a zero, segue que u tende a  x. Então temos

$\displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{\sqrt[3]{ x+h} - \sqrt[3]x}{h} = \lim_{ u \to x} \dfrac{\sqrt[3]{u} - \sqrt[3] x}{u - x}$

Agora o limite já está bem mais parecido com os anteriores. Agora vamos trocar u por y³ e x por b³, e o limite se torna

$\displaystyle \lim_{ y \to b}\, \dfrac{y - b}{y^3 - b^3} = \lim_{y \to b} \dfrac{1}{y^2 + by + b^2} = \dfrac{1}{3b^2}$

Já que b³ = x, a resposta será

$\dfrac{1}{3 \sqrt[3] {x^2}}$

como já havíamos obtido