Question

Calcule o limite de (está na foto)​

Answer 1

Vamos usar na questão 183 os limites fundamentais do seno e cosseno:

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \, \dfrac{\sin x}{x} = 1 \qquad \textrm{ e } \qquad \lim_{x \to 0} \, \dfrac { 1 - \cos x}{x^2} = \dfrac 12$

E também as fórmulas de transformação de somas em produtos:

$\cos x + \cos y = 2 \cos\left( \dfrac{x+y}2 \right) \cos \left( \dfrac{x-y}2 \right) \\[2ex]\cos x - \cos y = -2 \sin\left( \dfrac{x+y}2 \right) \sin \left( \dfrac{x-y}2 \right) \\[2ex]\sin x + \sin y = 2 \sin\left( \dfrac{x+y}2 \right) \cos \left( \dfrac{x-y}2 \right) \\[2ex]\sin x - \sin y = 2 \cos\left( \dfrac{x+y}2 \right) \sin \left( \dfrac{x-y}2 \right)$

Com isso temos:

cos(a+2x) - cos(a+x) = -2 sen(a + 3x/2) sen(x/2)    ( I )

cos(a) - cos(a+x) = -2 sen(a + x/2) sen(-x/2)          

Note  na segunda equação que sen(-x/2) = -sen(x/2) pois o seno é uma função ímpar:

cos(a) - cos(a+x) = 2 sen(a+x/2) sen(x/2)              ( II )

Portanto somando ( I ) e ( II ) temos:

cos(a+2x) - 2cos(a+x) + cos(a) = 2 sen(x/2) [ sen(a+x/2) - sen(a+3x/2) ]  ( III )

Usando novamente as formulas de prostaférese temos

sen(a+x/2) - sen(a+3x/2) = 2 cos(a + x) sen(-x/2) = -2 cos(a+x) sen(x/2)

Substituindo em ( III ) advém

cos(a+2x) - 2cos(a+x) + cos(a) = -4sen²(x/2) cos(a+x)

Com isso basta usar os limites fundamentais para resolver o problema:

$L = \displaystyle \lim_{x \to0} \, \dfrac{\cos(a+2x) -2 \cos(a+x) + \cos(a)}{x^2} \\[2ex]\phantom{L} = \lim_{x \to 0} -\left( \dfrac{\sin \frac x2}{\frac x2} \right)^2\cos(a+x) = -\cos a$

Portanto, o limite é L = -cos(a)

Resposta:

P.183: -cos(a)

As outras questões e outras formas de se resolver podem ser vistas em

https://brainly.com.br/tarefa/25848867