Question

Calcule o limite de duas variáveis!!

lim e^xy -1
(x,y) --> (0,0) ------------
xy

lim x^2-xy
(x,y)---> (1,2) ----------
x^2-y^2

lim ysen(x)
(x,y)--->(0,1) ----------
xy+2x

Answer 1

Calcular os limites das funções de duas variáveis.

a)  $\lim\limits_{(x,\,y)\to (0,\,0)}\dfrac{e^{xy}-1}{xy}$


Faça uma mudança de variável:

     $xy=u$


e temos que  u  tende a zero  quando  (x, y)  tende a  (0, 0).  Assim, obtemos um limite de uma função de uma variável:

      $\lim\limits_{u\to 0}\dfrac{e^u-1}{u}$


O limite acima é um dos limites exponenciais fundamentais, e seu valor é  1:

     $\lim\limits_{u\to 0}\dfrac{e^u-1}{u}=1$


Portanto,

      $\lim\limits_{(x,\,y)\to (0,\,0)}\dfrac{e^{xy}-1}{xy}=1$     <————    esta é a resposta.

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b)  $\lim\limits_{(x,\,y)\to (1,\,2)}\dfrac{x^2-xy}{x^2-y^2}$

Aqui temos o limite de uma função racional, e não há indeterminação. Como a função é contínua no ponto  (1, 2), basta substituir de modo que o limite acima fica

     $=\dfrac{1^2-1\cdot 2}{1^2-2^2}\\\\\\ =\dfrac{1-2}{1-4}\\\\\\ =\dfrac{-1}{-3}$

     $=\dfrac{1}{3}$    <————    esta é a resposta.

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c)  $\lim\limits_{(x,\,y)\to (0,\,1)}\dfrac{y\,\mathrm{sen\,}x}{xy+2x}$

Coloque  x  em evidência no denominador:

     $=\lim\limits_{(x,\,y)\to (0,\,1)}\dfrac{y\,\mathrm{sen\,}x}{x\cdot (y+2)}$


Reescreva a função como um produto:

     $\displaystyle =\lim_{(x,\,y)\to (0,\,1)}\frac{\mathrm{sen\,}x}{x}\cdot \frac{y}{y+2}\\\\\\ =\lim_{(x,\,y)\to (0,\,1)}\frac{\mathrm{sen\,}x}{x}\cdot \lim_{(x,\,y)\to (0,\,1)}\frac{y}{y+2}$


Cada limite que apareceu é de uma função de uma variável apenas:

     $\displaystyle=\lim_{x\to 0}\frac{\mathrm{sen\,}x}{x}\cdot \lim_{y\to 1}\frac{y}{y+2}\\\\\\ =1\cdot \frac{1}{1+2}\\\\\\ =1\cdot \frac{1}{3}$

     $\dfrac{1}{3}$    <————    esta é a resposta.


Bons estudos! :-)