Question

Calcule o limite das funções, justificando cada passagem:

a) limx→0 1 − cos x/ x²


b) limx→6 √x - √6 / x − 6


c) limx→2 ( x² -7x + 10/ 2x² - 11x + 14)

Answer 1

Olá,

a)

$\lim_{x \to \ 0} \frac{1-cos x}{x^2}$

Se substituímos o x por 0, teremos 0/0. Vamos multiplicar a expressão por 1 + cos x:

$\lim_{x \to \ 0} (\frac{1-cos x}{x^2}) (\frac{1+cos x}{1+cosx})$

$\lim_{x \to \ 0} (\frac{1^2-cos^2 x}{x^2}) (\frac{1}{1+cosx})$

Lembre-se que: 1 - cos² x = sen² x.

$\lim_{x \to \ 0} (\frac{sen^2 x}{x^2}) (\frac{1}{1+cosx})$

$\lim_{x \to \ 0} (\frac{sen x}{x}) (\frac{sen x}{x}) (\frac{1}{1+cosx})$

Lembre-se que:

$\lim_{x \to \ 0} (\frac{sen x}{x})=1$

$\lim_{x \to \ 0} (\frac{sen x}{x}) \lim_{x \to \ 0} (\frac{sen x}{x}) \lim_{x \to \ 0} (\frac{1}{1+cosx})$

$=(1)(1)(\frac{1}{1+cos(0)})$

$=(1)(1)(\frac{1}{2})$

$=\frac{1}{2}$

b)

$\lim_{x \to \ 6} \frac{\sqrt{x} -\sqrt{6} }{x-6}$

Se substituímos o x por 6, teremos 0/0.

Multiplicando por:

$\sqrt{x} +\sqrt{6}$

$\lim_{x \to \ 6} (\frac{\sqrt{x} -\sqrt{6} }{x-6})(\frac{\sqrt{x} +\sqrt{6} }{\sqrt{x} +\sqrt{6} })$

$\lim_{x \to \ 6} (\frac{(\sqrt{x})^2 -(\sqrt{6})^2 }{x-6})(\frac{1 }{\sqrt{x} +\sqrt{6} })$

$\lim_{x \to \ 6} (\frac{x-6 }{x-6})(\frac{1 }{\sqrt{x} +\sqrt{6} })$

$\lim_{x \to \ 6} \frac{1 }{\sqrt{x} +\sqrt{6} }$

$=\frac{1 }{\sqrt{6} +\sqrt{6} }$

$=\frac{1 }{2\sqrt{6} }$

c)

$\lim_{x \to \ 2} \frac{x^2-7x+10 }{2x^2-11x+14}$

Se substituímos o x por 2, teremos 0/0.

Podemos manipular as expressões observando que:

$\lim_{x \to \ 2} \frac{x^2-5x-2x+10 }{2x^2-7x-4x+14}$

$\lim_{x \to \ 2} \frac{x(x-5)-2(x-5)}{2x(x-2)-7(x-2)}$

$\lim_{x \to \ 2} \frac{(x-5)(x-2)}{(2x-7)(x-2)}$

$\lim_{x \to \ 2} \frac{x-5}{2x-7}$

$= \frac{2-5}{2(2)-7}$

$= \frac{-3}{-3}$

$=1$