Question

Calcule o limite das duas funções abaixo usando o teorema de L'Hospital:
$a) \lim_{x \to \11} \frac{ x^{5}-6 x^{3}+8x-3}{ x^{4}-1};$
b) $\lim_{n \to \00^{+} } \frac{x}{lnx};$

Answer 1

Olá

Podemos aplicar a regra do l'hopital sempre que o limite resultar em uma indeterminação do tipo 0/0 ou ∞/∞

A)

$\displaystyle \lim_{x \to 1}~ \frac{x^5-6x^3+8x-3}{x^4-1} ~=~ \frac{0}{0} \\\\\\\text{O regra de l'hopital e dada por }\\\\\\ \lim_{x \to a} ~ \frac{f'(x)}{g'(x)} \\\\\\\text{Entao temos que derivar o numerador e o denominador, mas, NAO}\\\text{utilize da regra do quociente para derivar}\\\\\\\text{Aplicando l'hopital}\\\\\\ \lim_{x \to 1}~ \frac{5x^{5-1}3\cdot-6x^{3-1}+8x^{1-1}-0}{4x^{4-1}-0}$

$\displaystyle \lim_{x \to 1}~ \frac{5x^4-18x^2+8}{4x^{3}} ~=~ \frac{5(1)^4-18(1)^2+8}{4(1)^3} ~=~ \frac{5-18+8}{4} ~=~\boxed{- \frac{5}{4} }$



B)

Para resolver a o item b), você tem de ter conhecimento sobre o gráfico da função 'ln'

Veja que, quando aproximamos do gráfico da 'ln' pela 'direita' ($0^+$), a função tende a ir ao -∞. Portanto, não temos uma indeterminação do tipo 0/0 ou ∞/∞, então o limite ficará dessa maneira

$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} ~\frac{x}{ln(x)} ~=~ \frac{0}{-\infty} ~=~\boxed{0}\\\\\\\text{A propriedade usada acima foi}\\\\ \lim_{x \to a} ~ \frac{k}{\pm\infty} ~=~0~~~~ ~~~k\in R$