Question

Calcule o limite da soma da PG (6, 2, 2/3 ...)

A) 4,5
B) 9
C) 6
D) 12
E) n.d.a.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{b)~9}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Seja uma progressão geométrica $(a_1,~a_2,~a_3,\cdots,~a_n)$.

A soma dos termos desta progressão é dada por $S=\dfrac{a_1\cdot(1-q^n)}{1-q}$, em que $q$ é a razão, constante calculada pela divisão entre dois termos subsequentes: $q=\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{a_3}{a_2}\cdots$;

Quando a progressão é infinita, ou seja, não há uma quantidade definida de termos, pode-se calcular a soma de seus termos ao calcularmos o limite desta soma quando $n\rightarrow\infty$.

Porém, há a necessidade de que $0< q<1$, ou seja, a razão desta progressão deve ser um número racional positivo menor que 1. Assim, a soma é convergente.

Então, dada esta condição, temos:

$\underset{n\rightarrow\infty}\lim~S=\underset{n\rightarrow\infty}\lim~\dfrac{a_1\cdot(1-q^n)}{1-q}$

Visto que o limite diz respeito ao comportamento da variável $n$, considera-se $a_1$ e $\dfrac{1}{1-q}$ constantes, de forma que

$\underset{n\rightarrow\infty}\lim~S=\dfrac{a_1}{1-q}\cdot\underset{n\rightarrow\infty}\lim~(1-q^n)$

Sabendo que o limite de uma soma de funções é igual a soma dos limites das funções, temos

$\underset{n\rightarrow\infty}\lim~S=\dfrac{a_1}{1-q}\cdot(\underset{n\rightarrow\infty}\lim~1-\underset{n\rightarrow\infty}\lim~q^n)$

O limite de uma constante é igual a própria constante

$\underset{n\rightarrow\infty}\lim~S=\dfrac{a_1}{1-q}\cdot(1-\underset{n\rightarrow\infty}\lim~q^n)$

Dada a condição para que a soma seja convergente, temos que $\underset{n\rightarrow\infty}\lim~q^n=0$, logo

$\underset{n\rightarrow\infty}\lim~S=\dfrac{a_1}{1-q}$

Então, seja a progressão $\left(6,~2,~\dfrac{2}{3},~\cdots\right)$

Neste caso, observa-se que $a_1=6$.

A razão $q=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$, o que satisfaz a condição para convergência da soma dos termos

Dessa forma, temos:

$S_{\infty}=\dfrac{6}{1-\dfrac{1}{3}}$

Some as frações

$S_{\infty}=\dfrac{6}{\dfrac{3-1}{3}}\\\\\\\\ S_{\infty}=\dfrac{6}{\dfrac{2}{3}}$

Calcule a fração de frações

$S_{\infty}=\dfrac{6\cdot3}{2}$

Multiplique os valores

$S_{\infty}=\dfrac{18}{2}$

Simplifique a fração

$S_{\infty}=9$

Esta é a soma dos termos desta progressão e é a resposta contida na letra b).