Question

Calcule o limite da sequencia {√2,√2√2,√2√2√2,√2√2√2√2
A RESPOSTA:2
ALGUÉM SABE COMO CALCULA O LIMITE PARA DAR A RESPOSTA 2?

Answer 1

Vamos determinar a série primeiramente.

Seja, 

$a_{n} = (\sqrt{2} , \sqrt{2} \sqrt{2} , \sqrt{2} \sqrt{2} \sqrt{2} ... )$

Onde podemos reescrever da seguinte maneira:


$a_{n} = ( \sqrt{2} , \sqrt{2^2} , \sqrt{2^3} ,... \sqrt{2^n} )$


Criando agora nosso somatório...
E obtendo uma formula fechada teremos:

$\\ S_{n} = a_{1}+a_{2}+a_{3}+..+a_{n} \\ \\ S_{n} = \sqrt{2} + \sqrt{2^2} + \sqrt{2^3}+..+ \sqrt{2^n}$

Multiplicando ambos os lados por √2

$\sqrt{2} S_{n} = \sqrt{2^2} + \sqrt{2^3} +...+ \sqrt{2^n} + \sqrt{2^n^+^1}$

Subtraindo 1 em 2:


$\\ S_{n} - \sqrt{2} S_{n} = \sqrt{2} - \sqrt{2^n^+^1} \\ \\ S_{n} (1- \sqrt{2} ) = \sqrt{2} - \sqrt{2^n2} \\ \\ S_{n} (1- \sqrt{2} ) = \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2^n} \\ \\ S_{n} = \frac{ \sqrt{2} (1- \sqrt{2^n}) }{(1- \sqrt{2} )}$

O limite será:

$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{ \sqrt{2}(1- \sqrt{2^n} ) }{1- \sqrt{2} }$

Repare que:


$|r| \ \textgreater \ 1$

Pois, √2  ≈ 1,4

Esse limite ira para +∞

Veja em seu anunciado, se não postou algo errado.