Question

Calcule o limite da seguinte função e assinale a alternativa correta: lim (0, 0) = x * x^2 * (x - x^2/x^4 + x^8

Answer 1

Queremos calcular $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x.x^2.(x-x^2)}{x^4+x^8}$.

Perceba que ao substituir o ponto (0,0) na função obtemos uma indeterminação.

Lembre-se que na Matemática não existe divisão por 0.

Então, temos que "manipular" o numerador e o denominador para retirar essa indeterminação.

No numerador, temos x.x².(x - x²).

Veja que, dentro dos parênteses, podemos colocar o x em evidência, ou seja,

x.x².(x - x²) = x³.x.(1 - x) = x⁴.(1 - x).

No denominador, temos x⁴ + x⁸.

Podemos colocar o x⁴ em evidência:

x⁴ + x⁸ = x⁴(1 + x⁴).

Então, obtemos:

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x.x^2(x - x^2)}{x^4+x^8}= \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^4(1-x)}{x^4(1+x^4)} =\lim_{(x,y) \to(0,0)} \frac{1-x}{1+x^4}=1$.

Portanto, o valor do limite é igual a 1.