Question

Calcule o limite da função quando x tende a -1, sendo y = (x² - 10x - 11) / (x² - 2x - 3):

Answer 1

Resposta:

lim     ( x² - 10 x - 11 ) /  (x² - 2 x - 3 )    =  3

x → - 1  

Explicação passo-a-passo:

Pedido :

Calcule o limite da função, quando x tende a  - 1, sendo

y = ( x² - 10x - 11 ) / ( x² - 2x - 3 )

Resolução

Aplicando o limite direto  

Lim      ( ( - 1 )² -10 * ( - 1 ) - 11 ) / ( ( - 1 )² - 2 * ( - 1 ) - 3 ) =

x → - 1

⇔ Lim      ( 1 + 10 - 11 ) / (  1 + 2 - 3 )   =  0 / 0

    x → - 1

  Para levantar a indeterminação, vai-se decompor, em fatores, ambos os

polinómios e procurar simplificar a fração.

  Demonstra-se que se se tiver um polinómio do tipo ax²+ b x + c é possível

o decompor em   a ( x - x1 ) ( x - x2) em que x1 e x2 são as raízes desse polinómio.

Aplicando ao numerador

x² - 10x - 11 = 0

a =   1

b = -10

c = -11

Δ = b² - 4 * a * c

Δ  = 100 - 4 * 1 * ( - 11 )

Δ  = 144

√Δ  = √144 = 12

x' = ( 10 + 12 ) / 2 = 11

x'' = ( 10 - 12 ) / 2 = - 1

Tem-se que x² - 10x - 11 = ( x - ( - 1 )) * ( x - 11 ) = ( x + 1 ) * ( x - 11 )

Aplicando ao denominador

x² - 2x - 3 = 0

a =    1

b =  - 2

c =  - 3

Δ = ( - 2 )²  - 4 * 1 * ( - 3 )

Δ = 4 + 12 = 16

√Δ = 4

x' = ( 2 + 4 ) / 2 =   6 / 2 =  3

x'' = ( 2 - 4 ) / 2 = - 2 /2  = -1

Tem -se que x² - 2x - 3 = ( x - ( - 1 )) *( x - 3 ) = ( x + 1 ) * ( x - 3 )

Agora a fração ( x + 1 ) * ( x - 11 ) / ( x + 1 ) * ( x - 3 )

simplifica-se, cancelando ( x + 1 )

Aplicando limite direto a

lim    ( x - 11 ) / ( x - 3 )  = ( - 1 - 11 ) / ( - 1 - 3 ) = - 12 / ( - 4 ) = 3

x → - 1

Sinais : ( * ) multiplicar    ( / ) dividir   ( ⇔ ) equivalente a  

Espero ter ajudado bem.  

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Se tiver alguma dúvida me contacte através dos Comentários da pergunta.  

Bom estudo e um bom dia para si.