Question

Calcule o limite da função f(X.y)=x^2 y/y^3+x^4 quando (X, y) vai para (0.0 )

Answer 1

Resposta:

Olá bom dia!

$\lim_{(x,y) \to \ (0,0)} \frac{x^2y}{y^3+x^4}$

Como o limite se aproxima da origem do plano cartesiano, devemos fazer a aproximação por qualquer um dos eixos, onde ou x ou y serão sempre zero e pela bissetriz do plano onde x e y são iguais. E os limites devem sempre convergir para um valor, para que o mesmo exista.

Indo pelo eixo x: sabemos que y = 0.

$\lim_{(x,y) \to \ (x,0)} \frac{x^20}{0+x^4}$

$\lim_{(x,y) \to \ (x,0)} \frac{0}{0+x^4}$

$\lim_{(x,y) \to \ (x,0)} \frac{0}{0+x^4} = 0$

Indo pela bissetriz, (x = y):

$\lim_{(y,y) \to \ (0,0)} \frac{y^2y}{y^3+y^4}$

$\lim_{(y,y) \to \ (0,0)} \frac{y^3}{y^3+y^4}$

Aplicando a divisão pelo maior expoente:

$\lim_{(y,y) \to \ (0,0)} \frac{y^3/y^4}{(y^3/y^4)+(y^4/y^4)}$

$\lim_{(y,y) \to \ (0,0)} \frac{1/y}{(1/y)+(1)}$

$\lim_{(y,y) \to \ (0,0)} \frac{1/y}{(1+y)/(y)}$

$\lim_{(y,y) \to \ (0,0)}\ {1/1+y}$

$\lim_{(y,y) \to \ (0,0)}\ {1/(1+0)} = 1$

Observe que os limites por x e pela bissetriz divergem. Não é necessário fazer outro caminho, pois já conclui-se que o limite diverge.