Question

Calcule o limite da função

Answer 1

Resposta: o limite existe e é igual a zero.

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{sen\,x^3}{x}$

Observe que para x = 0 cairemos na indeterminação ''0/0'', então para sair disso aplique a regra de L'hospital, podendo derivar as funções da divisão:

$\displaystyle\lim_{x\to k}\dfrac{p(x)}{q(x)}=\displaystyle\lim_{x\to k}\dfrac{p'(x)}{q'(x)}$

Portanto,

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{(sen\,x^3)'}{(x)'}=\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{(sen\,x^3)'}{1}=\displaystyle\lim_{x\to0}\,(sen\,x^3)'$

(A derivada de um monômio de grau 1 é igual ao seu coeficiente, por isso dx = 1).

Para derivar o seno faça u = x³ e use a regra da cadeia, onde:

$p'(u)=u'\, p'(u)$

Portanto,

$\displaystyle\lim_{x\to0}\,(sen\,x^3)'$

$=~~\displaystyle\lim_{x\to0}\,u'(sen\,u)'$  ⇒  a derivada do seno é igual ao cosseno.

$=~~\displaystyle\lim_{x\to0}\,u'cos\,u$  ⇒  retroque pela antiga variável.

$=~~\displaystyle\lim_{x\to0}\,(x^3)'cos\,x^3$

$=~~\displaystyle\lim_{x\to0}\,3x^{3-1}cos\,x^3$

$=~~\displaystyle\lim_{x\to0}\,3x^2cos\,x^3$

A derivada de um monômio de grau superior a 1 é igual a multiplicação de seu expoente pelo coeficiente, com uma unidade a menos no expoente, por isso dx³ = 3x².

A partir de agora é possível fazer x = 0 (nesse caso não é preciso aplicar as propriedades dos limites antes disso, mas irei aplicar para ficar mais ''certinho''):

$=~~\displaystyle\lim_{x\to0}\,3x^2cos\,x^3$

$=~~3\displaystyle\lim_{x\to0}x^2cos\,x^3$

$=~~3\displaystyle\lim_{x\to0}(x^2)\cdot\displaystyle\lim_{x\to0}(cos\,x^3)$

$=~~3\cdot\displaystyle\big(\lim_{x\to0}x\big)^2\cdot cos\big(\displaystyle\lim_{x\to0}x^3\big)$

$=~~3\cdot(0)^2\cdot cos(0^3)$

$=~~3\cdot0\cdot cos\,0$

$=~~0$

PORTANTO:

$\boxed{\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{sen\,x^3}{x}=0}$

Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.