Question

Calcule o limite. Alguém pode me ajudar? Desde já agradeço.

Answer 1

$L=\underset{x\to 8}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{\sqrt{2+\,^3\!\!\!\sqrt{x}}-2}{x-8}$


Multiplicando e dividindo pelo conjugado do numerador,

$=\underset{x\to 8}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{\sqrt{2+\,^3\!\!\!\sqrt{x}}-2}{x-8}\cdot \dfrac{\sqrt{2+\,^3\!\!\!\sqrt{x}}+2}{\sqrt{2+\,^3\!\!\!\sqrt{x}}+2}\\\\\\ =\underset{x\to 8}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{\big(\sqrt{2+\,^3\!\!\!\sqrt{x}}-2\big)\cdot \big(\sqrt{2+\,^3\!\!\!\sqrt{x}}+2\big)}{(x-8)\cdot \big(\sqrt{2+\,^3\!\!\!\sqrt{x}}+2\big)}\\\\\\ =\underset{x\to 8}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{\big(\sqrt{2+\,^3\!\!\!\sqrt{x}}\big)^2-2^2}{(x-8)\cdot \big(\sqrt{2+\,^3\!\!\!\sqrt{x}}+2\big)}\\\\\\ =\underset{x\to 8}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{2+\,^3\!\!\!\sqrt{x}-4}{(x-8)\cdot \big(\sqrt{2+\,^3\!\!\!\sqrt{x}}+2\big)}\\\\\\ =\underset{x\to 8}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{\,^3\!\!\!\sqrt{x}-2}{(x-8)\cdot \big(\sqrt{2+\,^3\!\!\!\sqrt{x}}+2\big)}~~~~~~\mathbf{(i)}$


Faça a seguinte mudança de variável:

$\,^3\!\!\!\sqrt{x}=u~~\Rightarrow~~x=u^3\\\\\\ \text{Quando }x\to 8,~~~u\to 2.$


Substituindo, o limite $\mathbf{(i)}$ fica

$=\underset{u\to 2}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{u-2}{(u^3-8)\cdot \big(\sqrt{2+u}+2\big)}~~~~~~\mathbf{(ii)}$


Temos ainda uma indeterminação do tipo 0/0. Podemos tirar um fator $(u-2)$ de $(u^3-8)$ que está no denominador (via divisão de polinômios ou produtos notáveis – a diferença entre dois cubos)

$u^3-8=(u-2)(u^2+2u+4)$


Então, o limite $\mathbf{(ii)}$ fica

$=\underset{u\to 2}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{u-2}{(u-2)(u^2+2u+4)\cdot \big(\sqrt{2+u}+2\big)}\\\\\\ =\underset{u\to 2}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{1}{(u^2+2u+4)\cdot \big(\sqrt{2+u}+2\big)}\\\\\\ =\dfrac{1}{(2^2+2\cdot 2+4)\cdot \big(\sqrt{2+2}+2\big)}\\\\\\ =\dfrac{1}{(4+4+4)\cdot \big(\sqrt{4}+2\big)}\\\\\\ =\dfrac{1}{12\cdot \big(2+2\big)}\\\\\\ =\dfrac{1}{12\cdot 4}\\\\\\ =\dfrac{1}{48}\\\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\underset{x\to 8}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{\sqrt{2+\,^3\!\!\!\sqrt{x}}-2}{x-8}=\dfrac{1}{48} \end{array}}$


Bons estudos! :-)