Question

Calcule o limite abaixo:

limite de x -- 1 = x³ -1 / x² - 3x +2

a) 8
b) -3
c) 9
d) 5

Answer 1

Se substituíssemos o 1 no lugar do x chegaríamos em uma indeterminação. Dessa forma, poderemos resolver esse limite por fatoração. Note que, no denominador, a gente tem um polinômio do segundo grau. Sendo assim, podemos usar a seguinte propriedade da fatoração de uma equação do segundo grau,

$a(x-x')(x-x'')$

Sendo o x' e x'' as raízes da equação.

O numerador pode ser rescrito da seguinte maneira x³ - 1³, e usaremos a propriedade da diferença do cubo de dois termos. Veja:

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Sendo a = x e b = 1.

Substituindo o x e 1 na propriedade do produto notável, temos:

$x^3-1^3=(x-1)(x^2+x+1)$

No denominador encontraremos as raízes usando bháskara.

$\Delta=(-3)^2-4~.~1~.~2 \\ \\ \\ \Delta=9-8 \\ \\ \\ \Delta=1 \\ \\ \\ x= \frac{3+-1}{2} \\ \\ x'=2 \\ \\ x''=1$

Encontrado as raízes, basta que substituímos na propriedade,

$(x-2)(x-1)$

Logo,

$\underset{x\to1}{\ell im}~~\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-2)(x-1)}$

Simplificando o ( x - 1 ) e substituindo o 1 no lugar do x, teremos:

$\underset{x\to1}{\ell im}~~ \frac{x^2+x+1}{x-2} = \frac{1^2+1+1}{1-2} = \frac{3}{-1}=-3$

Alternativa b )