Matemática, perguntado por joseberbatov, 5 meses atrás

Calcule o Limite
abaixo

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por Vicktoras

Por meio dos cálculos desenvolvidos, chegamos a conclusão de que o limite em questão é igual a: $\sf\boxed{e^{\frac{3}{2}} }$

Temos o seguinte limite:

$\: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \: \lim_{x \to 0 {}^{ + } }(x {}^{2} + 2x)^{ \large\frac{3}{5 + 2\ln(x)} } \\$

Certamente se substituirmos o valor a qual o x tende, geraremos uma indeterminação, já que o logaritmo é indefinido quando o logaritmando é 0. Portanto vamos utilizar alguma operação que nos permita calcular este limite.

Vamos iniciar utilizando a propriedade que nos permite reescrever qualquer expressão como uma potência do número de Euler. Como por exemplo: $y =e^{\ln(y)}$ .

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \lim_{x \to 0 {}^{ + } } e {}^{ \small \ln \left[ (x {}^{2} + 2x)^{ \frac{3}{5 + 2 \ln(x)} } \right] } \\$

Fazendo isso, abre-se uma brecha para a aplicação da propriedade do expoente de logarimo, dada por $\ln(a^b)=b\cdot\ln(a)$ :

$\Longrightarrow \lim_{x \to 0 {}^{ + } } e {}^{ \small \ln \left[ (x {}^{2} + 2x)^{ \frac{3}{5 + 2 \ln(x)} } \right] } \\ \\ \Longrightarrow \lim_{x \to 0 {}^{ + } }e^{\small\frac{3}{5 + 2 \ln(x)} . \ln(x {}^{2} + 2x) } \\ \\ \Longrightarrow \lim_{x \to0 {}^{ + } }e^{ \large\frac{{3 \ln(x {}^{2} + 2x)}}{5 + 2 \ln(x)}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Agora que modificamos um pouco a expressão vamos substituir novamente ao valor a qual o x tende e ver se a indeterminação desapareceu.

$\lim_{x \to 0 {}^{ + } }e {}^{ \large \frac{3 \ln(0 {}^{2} + 2.0) }{5 + 2 \ln(0)} } \: \to \: \lim_{x \to 0 {}^{ + } }e^{ \large\frac{3 \ln(0)}{5 + 2 \ln(0)} } \\$

Quando x tende a 0 pela direita na função logaritmo natural, o resultado é que ele tende para o infinito negativo, pois:

$\ln(0 {}^{ + } ) = k \: \: \to \: \: \log_{e}(0 {}^{ + } ) = k \to \: 0 {}^{ } = e {}^{k} \\$

O único valor que verifica a igualdade acima é k = $\sf-\infty$ , uma vez que: $\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x^n} =0\\$ . Ficamos então com uma indeterminação de novo, já que: $\lim_{x \to 0^{ + } }e^{\small\frac{-\infty}{-\infty}}\\$ . Como a indeterminação é do tipo infinito sobre infinito, torna-se possível a aplicação da regra de L'Hôpital, que diz:

$\underbrace{\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \: \: e \: \: \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{ \infty }{ \infty } } _{ \normalsize\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x) } }$

Ou seja, vamos derivar o numerador e o denominador. Vale ressaltar que mesmo que a indeterminação perdure, é possível derivar até que a mesma venha a desaparecer.

Derivada do numerador:

$\frac{d}{dx} (3 \ln(x^{2} + 2x)) = 3. \frac{1}{x {}^{2} + 2x } .(2x + 2) = \boxed{ \frac{6x + 6}{x {}^{2} + 2x }} \\$

Derivada do denominador:

$\frac{d}{dx} (5 + 2 \ln(x)) = 0 + \frac{2}{x} = \boxed{\frac{2}{x} } \\$

Substituindo estes resultados no limite:

$\lim_{x \to 0 {}^{ + }}e {}^{ \large \frac{ \frac{6x + 6}{x {}^{2} + 2x} }{ \frac{2}{x} } } \: \to \: \: \lim_{x \to 0 {}^{ + }}e^{ \large \frac{6x + 6}{x {}^{2} + 2x } . \frac{x}{2} } \\ \\ \lim_{x \to 0 {}^{ + }}e^{ \large \frac{2x.(3x + 3)}{2x.(x + 2)} } \: \: \to \: \: \lim_{x \to 0 {}^{ + } }e {}^{ \large\frac{3x + 3}{x + 2} }$

Provavelmente agora a indeterminação desapareceu, então vamos substituir novamente o valor a qual o x tende:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \lim_{x \to 0 {}^{ + } }e^{ \small\frac{3.0 + 3}{0 + 2} } \: \to \: \lim_{x \to 0 {}^{ + } }e {}^{ \small \frac{3}{2} } \\$