Question

Calcule o limite abaixo:

Answer 1

Resposta:

1/2

Explicação passo-a-passo:

O limite é uma indeterminação do tipo 0/0. A dica pra esse tipo de problema é lembrar que se p(x) é um polinômio  e r é uma de suas raízes (ou seja, p(r) =0) então p(x) é divisível por (x-r).

Por exemplo, nesse problema digamos que p(x) = x³-2x² -x + 2. Sabemos que 1 é uma raiz de p, pois p(1) = 0. Assim, esse polinômio é divisível por (x-1). Em outras palavras, quando dividirmos p(x) por (x-1) não sobrará resto e podemos fatorar o polinômio:

x³ -2x² - x + 2 = (x-1)(x²-x-2)

Podemos continuar a fatoração caso desejarmos, mas nesse caso não será necessário e vamos parar ai mesmo. Fazendo o mesmo para o denominador encontramos:

x³-7x+6 = (x-1)(x²+x-6)

Logo o limite fica:

$\displaystyle \lim_{x \to 1} \, \dfrac{x^3 - 2x^2 - x + 2}{x^3 - 7x + 6} = \lim_{x \to 1} \, \dfrac{(x-1)(x^2-x-2)}{(x-1)(x^2+x-6)} = \lim_{x \to 1} \, \dfrac{x^2-x-2}{x^2+x-6} = \dfrac{-2}{-4} = \dfrac 12$

Answer 2

Olá, boa noite ☺

Resolução:

$\lim_{x\rightarrow 1} \frac{x^3-2x^2-x+2}{x^3-7x+6}$

Primeiramente devemos verificar se existe uma indeterminação.

$\lim_{x\rightarrow 1} \frac{1-2-1+2}{1-7+6}$

$\lim_{x\rightarrow 1} \frac{0}{0}$

Veja que encontramos uma indeterminação do tipo 0/0. Para resolver esse impasse podemos utilizar a Regra de L'Hospital. Veja os cálculos abaixo:

$\lim_{x\rightarrow 1} \frac{\dfrac{d}{dx}( x^3-2x^2-x+2)}{\dfrac{d}{dx} (x^3-7x+6)}$

$\lim_{x\rightarrow 1} \frac{3x^2-4x-1}{3x^2-7}$

$\lim_{x\rightarrow 1} \frac{3\cdot 1^2-4.1-1}{3 . 1^2-7}$

$\lim_{x\rightarrow 1} \frac{-2}{-4}$

$\lim_{x\rightarrow 1} \frac{1}{2}$

Resposta: 1/2

Bons estudos :)