Question

Calcule o lim x-> +00 ( Ln(x-1)^2)/x
por favoooor !!! :)

Answer 1

Pode-se fazer uma tabela (em uma planilha, por exemplo) e calcular os valores que a função 

$f\left(x \right )=\dfrac{\mathrm{\ell n}\left[\;\left(x-1 \right )^{2}\; \right ]}{x}$

assume, quando $x$ assume valores absurdamente grandes (tende ao infinito positivo). Assim, podemos verificar a tendência do valor assumido pela função:

$f\left(9 \right )=\dfrac{\mathrm{\ell n}\left[\;\left(9-1 \right )^{2}\; \right ]}{9} \approx 0,488272128\\ \\ f\left(99 \right )=\dfrac{\mathrm{\ell n}\left[\;\left(99-1 \right )^{2}\; \right ]}{99} \approx 0,092830704\\ \\ f\left(999 \right )=\dfrac{\mathrm{\ell n}\left[\;\left(999-1 \right )^{2}\; \right ]}{999} \approx 0,013827337\\ \\ f\left(9\,999 \right )=\dfrac{\mathrm{\ell n}\left[\;\left(9\,999-1 \right )^{2}\; \right ]}{9\,999} \approx 0,001842232\\ \\ f\left(99\,999 \right )=\dfrac{\mathrm{\ell n}\left[\;\left(99\,999-1 \right )^{2}\; \right ]}{99\,999} \approx 0,000230261$


Como podemos observar, o valor da função parece se aproximar de zero conforme $x$ cresce. Então, podemos intuitivamente prever (mas não afirmar, de fato), que

$\boxed{\underset{x \to \infty}{\mathrm{\ell im}}\,\dfrac{\mathrm{\ell n}\left[\;\left(x-1 \right )^{2}\; \right ]}{x}=0}$