Question

calcule o impulso do corpo com função da força f(t)=3t²+4t em um intervalo de tempo to=2s e tf=6s

Answer 1

a formula do impulso é dada pela integral definida I=∫F(t)dt com a=to e b=tf
I=∫(3t²+4t)dt = ∫3t²dt + ∫4tdt = t³+2t² | b=6 a=2
6³+2.6² - (2³+2.2²) = 288 - 16 = 272N.s

Answer 2

Temos que o módulo da força é dado pela função
$\displaystyle |\vec{F}|(t)=3t^2+4t$
além disso, sabemos que o impulso é a soma do momento linear em um objeto durante uma quantidade t de tempo:
$\displaystyle \vec{I}=\vec{p}_1+\vec{p}_2+...+\vec{p}_n=\sum_{i=1}^{n}\vec{p}_i$
tal que o momento linear (p) é dado por:
$\displaystyle \vec{p}=m\cdot \vec{v}=m\cdot\frac{d\vec{x}}{dt}$
como a massa é constante, se tomarmos a derivada do momento linear obteremos:
$\displaystyle \frac{dp}{dt}=m\frac{d}{dt}\frac{d\vec{x}}{dt}=m\frac{d^2\vec{x}}{dt^2}=m\cdot \vec{a}=\vec{F}$
a força.
Logo ao tomarmos a integral da função força, chegaremos à sua primitiva, a função que descreve o momento linear, a soma dos momentos lineares é o Impulso.

CALCULANDO:
Para tanto fazemos:
$\displaystyle \vec{I}=\int\limits_{t_0}^{t}\vec{F}\,dt$
$\displaystyle I=\int\limits_{2s}^{6s}3t^2+4t\,dt=\left[\frac{3}{3}t^3+\frac{4}{2}t^2\right]^{6s}_{2s}=\left(6^3+\frac{4}{2}6^2-2^3-\frac{4}{2}2^2\right)\\\\I=216+72-8-8=\boxed{272~N\cdot s}$
O impulso total nesse intervalo de tempo é de 272 Ns

Observe que o Impulso é a área abaixo do gráfico da força como observado na imagem abaixo:
A primeira imagem é a área do gráfico da função força, o segundo é o gráfico da função impulso.