Question

calcule o gradiente da função
f(x,y) = 3x²y-x²/³.y² no ponto (1,3)
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Answer 1

Seja $f: \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ uma função diferenciável num ponto $(x_0, \, y_0)$. Definimos o gradiente de f neste ponto como

$\nabla f(x_0,\,y_0) = \left(\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0, \, y_0), \, \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0, \, y_0)\right)$

Dado que nossa função é definida por

$f(x,\, y) = 3x^2y-x^{\frac{2}{3}}y^2 = 3x^2y-\sqrt[3]{x^2}y^2$

As derivadas parciais de f serão

$\dfrac{\partial f}{\partial x} = 6xy-\dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}y^2$

$\dfrac{\partial f}{\partial y} = 3x^2-2\sqrt[3]{x^2}y$

Portanto,

$\nabla f = \left(6xy-\dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}y^2, \, 3x^2-2\sqrt[3]{x^2}y\right)$

Assim, o gradiente no ponto (1, 3) torna-se

$\nabla f(1,\,3) = \left(6*1*3-\dfrac{2}{3\sqrt[3]{1}}*3^2, \, 3*1^2-2\sqrt[3]{1^2}*3\right)$

$\nabla f(1,\,3) = \left(18-2*\dfrac{3^2}{3}, \, 3-2*3\right)$

$\nabla f(1,\, 3) = \left(18-6, \, 3-6\right)$

$\boxed{\nabla f(1,\,3) = \left(12, \, -3\right)}$