Question

Calcule o domínio e a imagem de LaTeX: f(x) = \sqrt{-3x + 27} + 1f(x)=−3x+27+1 e a expressão da sua função inversa.

Answer 1

A função é $f(x)= \sqrt{-3x+27}+1$

Vamos começar pelo domínio.

A restrição que nós temos é em relação a raiz quadrada. O número que está dentro dela tem que ser maior ou igual a 0, ou seja,

-3x + 27 ≥ 0
-3x ≥ -27
3x ≤ 27
x ≤ 9

Portanto, o domínio de f é (-∞,9].

Para calcular a imagem, perceba que qualquer valor da raiz será positivo. Como temos o +1 somando a raiz, então a imagem de f será [1, ∞)

Agora vamos calcular a função inversa. Para isso, vamos isolar o x:

$y= \sqrt{-3x+27}+1$
$y-1= \sqrt{-3x+27}$
$(y-1)^2=-3x+27$
$y^2-2y+1=-3x+27$
$y^2-2y-26=-3x$
$x= \frac{-y^2+2y+26}{3}$

Agora é só trocar o x pelo y e o y pelo x:

$y= \frac{-x^2+2x+26}{3}$