Question

Calcule o domínio e a imagem de LaTeX: f(x) = \sqrt{-3x + 27} + 1f(x)=−3x+27+1 e a expressão da sua função inversa.

Answer 1

A função f(x) é definida como $f(x)= \sqrt{-3x+27}+1$.

Para calcularmos o domínio, observe que há uma restrição, que é a raiz quadrada.

Então, tudo que está dentro dessa raiz tem que ser maior ou igual a 0, ou seja, 

-3x + 27 ≥ 0
-3x ≥ -27
3x ≤ 27
x ≤ 9

Portanto, o domínio dessa função é (-∞,9].

Observe que para qualquer valor do domínio, a imagem será positiva. Como temos o 1 somando, então podemos concluir que a imagem da função é igual a [1,∞)

Agora, vamos definir a função inversa.

Para isso, precisamos isolar o x:

$y= \sqrt{-3x+27}+ 1$
$y-1= \sqrt{-3x+27}$
$(y-1)^2=-3x+27$
$y^2-2y+1-27=-3x$
$y^2-2y-26=-3x$
$3x=-y^2+2y+26$
$x = \frac{-y^2+2y+26}{3}$

Agora é só trocar o x por y e o y por x. Portanto a inversa da função é:

$y = \frac{-x^2+2x+26}{3}$