Question

Calcule o domínio e a imagem de: f(x) = \{-3x + 27} + 1f(x)=−3x+27+1 e a expressão da sua função inversa.

Answer 1

Temos que $f(x)= \sqrt{-3x+27}+1$

Vamos, primeiramente, calcular o domínio.

Temos como restrição a raiz quadrada, ou seja, tudo que está dentro dela deve ser maior ou igual a 0:

-3x + 27 ≥ 0
-3x ≥ -27
3x ≤ 27
x ≤ 9

Portanto, o domínio de f é (-∞,9].

Agora, observe que os valores dentro da raiz serão positivos. Como temos o 1 somando, então a imagem de f será [1, ∞).

Para a função inversa teremos que isolar o x:

$y = \sqrt{-3x+27}+1$
$y-1= \sqrt{-3x+27}$
$(y-1)^2=-3x+27$
$y^2-2y+1=-3x+27$
$y^2-2y-26 = -3x$
$x = \frac{-y^2+2y+26}{3}$

Agora, basta trocar o x pelo y e o y pelo x. Assim, a função inversa é:

$y= \frac{-x^2+2x+26}{3}$