Question

Calcule o domínio, a imagem e a expressão da função inversa de: f(x)=√2x-6 +2

Answer 1

     •   Função:  $f(x)=\sqrt{2x-6}+2$

     •   Domínio: A restrição que temos é que o radicando (termo dentro da raiz quadrada) não pode ser negativo:

     $2x-6\ge 0\\\\ 2x\ge 6\\\\ x\ge \dfrac{6}{2}\\\\\\ x\ge 3$

     O domínio é o conjunto

     $D=\{x\in \mathbb{R}:~~x\ge 3\}$


     ou usando a notação de intervalos,

     $D=[3,\,+\infty).$


     •   Imagem:  Para todo  x ≥ 3,

     $\sqrt{2x-6}\ge 0\\\\ \sqrt{2x-6}+2\ge 0\\\\ f(x)\ge 2$


     Logo, o conjunto imagem é

     $\mathrm{Im}(f)=\{y\in \mathbb{R}:~~y\ge 2\}$


     ou usando a notação de intervalos,

     $\mathrm{Im}(f)=[2,\,+\infty).$


     •   Achando a lei da função inversa:

     Não é difícil mostrar que $f$ é injetora. Logo, se tomarmos o conjunto imagem como sendo o contradomínio, garantimos a existência da inversa.

     Lembremos que a composição de  $f$  com a sua inversa sempre resulta na função identidade, e a inversa é única. Logo, sendo  $f^{-1}$  a função inversa procurada, temos que

     $(f\circ f^{-1})(x)=x\\\\ f\big[f^{-1}(x)\big]=x\\\\ \sqrt{2\cdot f^{-1}(x)-6}+2=x\\\\ \sqrt{2\cdot f^{-1}(x)-6}=x-2\\\\ 2\cdot f^{-1}(x)-6=(x-2)^2\\\\ 2\cdot f^{-1}(x)=(x-2)^2+6\\\\ f^{-1}(x)=\dfrac{(x-2)^2+6}{2}\\\\\\ f^{-1}(x)=\dfrac{(x-2)^2}{2}+\dfrac{6}{2}$

     $f^{-1}(x)=\dfrac{(x-2)^2}{2}+3\quad\longleftarrow\quad\textsf{lei da inversa.}$

     com  x ≥ 2.


Bons estudos! :-)