calcule o dominio , a imagem e a expressao da função inversa de:f(x)= raiz quadrada -5x+10 -6
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olá,
Faremos primeiramente a análise do domínio da função. O fator limitante para o domínio é a raíz quadrada. Raízes quadradas só existem para números positivos. Portanto, números maiores ou iguais a zero. Desenvolvendo, temos:
---> multiplicando ambos os lados por -1
[tex] 5x \leq 10 [\tex] -----> além da inversão de sinal, a desigualdade também inverte
[tex] x \leq 2 [\tex]
Portanto, o domínio da função é Dom F = {x ∈ R | x ≤ 2} (lido como x pertence aos reais tal que x menor ou igual 2)
Para a imagem da função temos que ver o valor de f(x) nas fronteiras do domínio. Portanto, calcularemos f(2).
f(2) = √(-5*2+10)-6=-6.
f(2) = -6
Como dito anteriormente os valores de -5x+10 são sempre positivos, portanto a função é crescente e a imagem de f é Im F = {f ∈ R | f ≥ 6}.
A inversa é dada pela isolamento de x em relação a y(ou f(x)).
y = √(-5x+10) -6 ------- passando o -6 para outro membro
y+6 = √(-5x+10) -------- elevando ao quadrado os dois lados
(y+6)² = -5x+10 ------ passando o 10 para o outro membro
(y+6)² -10 = -5x ------ fazendo o (y+6)² = y²+12y+36
y²+12y+36-10 = -5x ------- dividindo ambos os membros por -5
x = (-y²- 12y - 26)/5
Faremos primeiramente a análise do domínio da função. O fator limitante para o domínio é a raíz quadrada. Raízes quadradas só existem para números positivos. Portanto, números maiores ou iguais a zero. Desenvolvendo, temos:
---> multiplicando ambos os lados por -1
[tex] 5x \leq 10 [\tex] -----> além da inversão de sinal, a desigualdade também inverte
[tex] x \leq 2 [\tex]
Portanto, o domínio da função é Dom F = {x ∈ R | x ≤ 2} (lido como x pertence aos reais tal que x menor ou igual 2)
Para a imagem da função temos que ver o valor de f(x) nas fronteiras do domínio. Portanto, calcularemos f(2).
f(2) = √(-5*2+10)-6=-6.
f(2) = -6
Como dito anteriormente os valores de -5x+10 são sempre positivos, portanto a função é crescente e a imagem de f é Im F = {f ∈ R | f ≥ 6}.
A inversa é dada pela isolamento de x em relação a y(ou f(x)).
y = √(-5x+10) -6 ------- passando o -6 para outro membro
y+6 = √(-5x+10) -------- elevando ao quadrado os dois lados
(y+6)² = -5x+10 ------ passando o 10 para o outro membro
(y+6)² -10 = -5x ------ fazendo o (y+6)² = y²+12y+36
y²+12y+36-10 = -5x ------- dividindo ambos os membros por -5
x = (-y²- 12y - 26)/5
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