Question

Calcule o determinante, utilizando a 1° linha e aplicando o teorema de Lapace

a) 1 2 0
3 4 2
1 6 3


b) 4 3 1
2 1 5
1 6 2

Answer 1

Dada uma matriz $\mathbf{A}=(a_{ij})_{3\times 3}$

$\mathbf{A}=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{bmatrix}$


podemos calcular o determinante dessa matriz usando usando o Teorema de Laplace pela 1ª linha:

$\det\mathbf{A}=a_{11}\cdot \begin{vmatrix} a_{22}&a_{23}\\ a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}-a_{12}\cdot \begin{vmatrix} a_{21}&a_{23}\\ a_{31}&a_{33} \end{vmatrix}+a_{13}\cdot \begin{vmatrix} a_{21}&a_{22}\\ a_{31}&a_{32} \end{vmatrix}$


Veja que para cada elemento da primeira linha, resta calcular o determinante da matriz menor formada pelos elementos que sobraram ao se eliminar a linha e a coluna correspondente àquele elemento.

___________


a) $\mathbf{A}=\begin{bmatrix} 1&2&0\\ 3&4&2\\ 1&6&3 \end{bmatrix}$


Usando Laplace pela 1ª linha,

$\det \mathbf{A}=1\cdot \begin{vmatrix} 4&2\\6&3 \end{vmatrix}-2\cdot \begin{vmatrix} 3&2\\1&3 \end{vmatrix}+0\cdot \begin{vmatrix} 3&4\\1&6 \end{vmatrix}\\\\\\ \det \mathbf{A}=1\cdot (4\cdot 3-6\cdot 2)-2\cdot (3\cdot 3-1\cdot 2)+0\cdot (3\cdot 6-1\cdot 4)\\\\ \det \mathbf{A}=1\cdot (12-12)-2\cdot (9-2)+0\cdot (18-4)\\\\ \det \mathbf{A}=1\cdot 0-2\cdot 7+0\cdot 14\\\\ \det \mathbf{A}=0-14+0\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\det \mathbf{A}=-14 \end{array}}\qquad\quad\checkmark$

_____________


b) $\mathbf{B}=\begin{bmatrix} 4&3&1\\ 2&1&5\\ 1&6&2 \end{bmatrix}$


Usando Laplace pela 1ª linha,

$\det \mathbf{B}=4\cdot \begin{vmatrix} 1&5\\6&2 \end{vmatrix}-3\cdot \begin{vmatrix} 2&5\\1&2 \end{vmatrix}+1\cdot \begin{vmatrix} 2&1\\1&6 \end{vmatrix}\\\\\\ \det \mathbf{B}=4\cdot (1\cdot 2-6\cdot 5)-3\cdot (2\cdot 2-1\cdot 5)+1\cdot (2\cdot 6-1\cdot 1)\\\\ \det \mathbf{B}=4\cdot (2-30)-3\cdot (4-5)+1\cdot (12-1)\\\\ \det \mathbf{B}=4\cdot (-28)-3\cdot (-1)+1\cdot 11\\\\ \det \mathbf{B}=-112+3+11\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\det \mathbf{B}=-98 \end{array}}\qquad\quad\checkmark$


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