Question

Calcule o determinante da matriz quadrada de terceira ordem tal que sua lei de formação é dada por aij=i-j

Answer 1

Uma matriz de terceira ordem possui três linhas e três colunas, e assim, é chamada de matriz quadrada.

Definimos como " i " a posição do elemento em relação a linha.
Definimos como " j " a posição do elemento em relação a coluna.

A lei de formação de uma matriz serve para definir os valores dos elementos que farão parte da mesma. Assim, temos que primeiramente expressar a matriz de ordem 3x3:

| a11  a12  a13 |
| a21  a22  a23 |
| a31  a32  a33 |

Se a lei de formação é aij =  i - j, devemos utilizar as posições de cada elemento, e substituí-las na expressão da lei de formação, a fim de encontrar o valor numérico referente:

1º Caso: elemento a11 na lei de formação " i - j ". Nesse caso, o " i " será igual a 1, assim como o " j " também valerá 1. Assim, temos:

a11 = 1 - 1 = 0 na lei de formação " i - j ".

Dessa forma, será feito em todos os demais elementos, distribuídos da seguinte forma:

a11 = 1 - 1 = 0 na lei de formação " i - j ".
a12 = 1 - 2 = - 1 na lei de formação " i - j ".
a13 = 1 - 3 = - 2 na lei de formação " i - j ".

a21 = 2 - 1 = 1 na lei de formação " i - j ".
a22 = 2 - 2 = 0 na lei de formação " i - j ".
a23 = 2 - 3 = -1 na lei de formação " i - j ".

a31 = 3 - 1 = 2 na lei de formação " i - j ".
a32 = 3 - 2 = 1 na lei de formação " i - j ".
a33 = 3 - 3 = 0 na lei de formação " i - j ".

Após encontrar todos os valores, montamos a matriz final:

| 0  -1  -2 |
| 1   0   1 | 
| 2   1   0 |

Após encontrar a matriz final, calculamos o determinante da matriz, utilizando a regra que o professor pedir. Neste caso, é interessante realizar a regra de Sarrus.

Caso seja feita pela regra de Sarrus, temos:

| 0  -1  -2 | 0 -1
| 1   0   1 | 1  0
| 2   1   0 | 2  1

D = Dp - Ds

D = (0 + [-2] + [-2]) - (0 + 0 + 0)

D = -4 - 0

D = - 4