Question

Calcule o determinante da matriz B, utilizando o
teorema de Laplace:​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\det B=65}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para calcularmos o determinante da matriz $B=\begin{bmatrix}1&0&5&0\\2&-1&0&3\\3&0&2&0\\7&0&6&5\\\end{bmatrix}$ utilizando o teorema de Laplace, devemos relembrar algumas propriedades.

A melhor forma de fazê-lo é selecionar a fila (linha ou coluna) com maior números de zeros. Sabemos que o determinante é calculado por meio da expressão:

$\det B=\displaystyle{\sum_{i,j=1}^nB_{ij}\cdot b_{ij}$, tal que $i$ e $j$ são, respectivamente, o número da linha e da coluna do elemento, $n$ é a ordem da matriz, $B_{ij}$ é o cofator do elemento e $b_{ij}$ é o elemento.

Assim, escolhendo a coluna 2, teremos o determinante:

$\det B=B_{12}\cdot 0 + B_{22}\cdot (-1)+B_{32}\cdot 0+B_{42}\cdot 0$

Multiplicando os valores, teremos

$\det B=-B_{22}$

Dessa forma, basta calcularmos o cofator do elemento $b_{22}$.

A fórmula para calcular o cofator é dada por:

$B_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot \det D_{ij}$, tal que $D_{ij}$ é a matriz formada pelos elementos que restam após retirarmos a linha e a coluna desejada.

Como se trata do cofator da linha e coluna $2$, teremos $D_{22}=\begin{bmatrix}1&5&0\\3&2&0\\7&6&5\\\end{bmatrix}$

Calculando este determinante via Regra de Sarrus, temos:

$\det D_{22}=1\cdot2\cdot5+5\cdot0\cdot7+0\cdot 3\cdot 6-(5\cdot 3\cdot 5+1\cdot 0\cdot 6+0\cdot 2\cdot 7)$

Multiplique os valores

$\det D_{22}=10-75$

Some os valores

$\det D_{22}=-65$

Substitua estes dados na fórmula do cofator

$B_{22}=(-1)^{2+2}\cdot (-65)$

Some os valores no expoente

$B_{22}=(-1)^{4}\cdot (-65)$

Sabendo que a potência de base negativa e expoente par resulta em um número positivo, temos

$B_{22}=-65$

Substituindo o valor do cofator na fórmula que encontramos para o determinante da matriz $B$, temos

$\det B=-(-65)$

Efetue a propriedade de sinais

$\det B=65$

Este é o determinante desta matriz.