Question

Calcule o determinante da matriz B abaixo utilizando o Teorema de Laplace. (Vou colocar a foto)

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\det B=210}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para resolvermos este determinante utilizando o Teorema de Laplace, devemos relembrar algumas propriedades de cofatores e matrizes de ordem 3.

Seja a matriz de ordem $4$: $B=\begin{bmatrix}b_{ij}\\\end{bmatrix}_{4\times4}$. Seu determinante pode ser calculado pela fórmula:

$\det B=\displaystyle{\sum_{i,j=1}^4 b_{ij}\cdot B_{ij}$ , tal que $B_{ij}$ é o cofator do elemento $b_{ij}$.

Devemos escolher uma fila específica, podendo ser a que apresenta o maior número de zeros, pois como se trata do somatório de um produto, isto reduziria a quantidade de cálculos

Então, escolhendo a quarta coluna, teremos:

$\det B=\displaystyle{\sum_{i=1}^4 b_{i4}\cdot B_{i4}$

Expandindo o somatório, teremos

$\det B= b_{14}\cdot B_{14}+b_{24}\cdot B_{24}+b_{34}\cdot B_{34}+b_{44}\cdot B_{44}$

Substituindo os elementos desta fila, teremos:

$\det B= 0\cdot B_{14}+1\cdot B_{24}+1\cdot B_{34}+5\cdot B_{44}\\\\\\ \det B= B_{24}+B_{34}+5\cdot B_{44}$

Então, para calcularmos os cofatores, utilizamos a fórmula:

$B_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot\det D_{ij}$, tal que $D_{ij}$ é a matriz formada pelos elementos que restam após eliminarmos a linha e a coluna do elemento escolhido.

Calculando os cofatores, teremos

$B_{24}=(-1)^{2+4}\cdot\begin{vmatrix}4&5&-3\\1&-3&2\\0&2&-2\\\end{vmatrix}$

Para resolvermos o determinante, utilizamos a Regra de Sarrus. Consiste em replicarmos as duas primeiras colunas à direita do determinante e calcularmos a diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais principais e a soma dos produtos dos elementos das diagonais secundárias.

Replicando as colunas, temos

$B_{24}=(-1)^{2+4}\cdot\left|\begin{matrix}4&5&-3\\1&-3&2\\0&2&-2\end{matrix}\right.\left|\begin{matrix}4&5\\1&-3\\0&2\end{matrix}\right.$

Aplicando a regra de Sarrus

$B_{24}=(-1)^{2+4}\cdot(4\cdot(-3)\cdot (-2)+5\cdot2\cdot0+(-3)\cdot1\cdot2-(5\cdot1\cdot(-2)+4\cdot2\cdot2+(-3)\cdot(-3)\cdot0))$

Multiplique os valores

$B_{24}=(-1)^{2+4}\cdot(24-6-(-10+16))$

Some os valores

$B_{24}=(-1)^{6}\cdot12$

Sabendo que a potência de expoente par e base negativa resulta em um número positivo, temos

$B_{24}=12$

Faça o mesmo para o restante dos cofatores

$B_{34}=(-1)^{3+4}\cdot \begin{vmatrix}4&5&-3\\2&-1&3\\0&2&-2\\\end{vmatrix}= 8\\\\\\ B_{44}=(-1)^{4+4}\cdot \begin{vmatrix}4&5&-3\\2&-1&3\\1&-3&2\\\end{vmatrix}= 38$

Substituindo estes valores na fórmula do determinante, teremos

$\det B=12+8+5\cdot 38$

Multiplique e some os valores

$\det B=210$

Este é o valor do determinante desta matriz.