Question

calcule o determinante da matriz...

Answer 1

Temos a seguinte matriz:

$A=\begin{bmatrix}1&6&-1&4\\0&1&0&3\\3&-5&-6&-1\\2&0&-2&2\end{bmatrix}$

Vemos que é uma matriz de ordem 4, para calcular o determinante dessa matriz, vamos aplicar o Teorema de Laplace, que diz o seguinte: escolhendo uma fila, o determinante será a soma entre cada elemento desta fila multiplicado pelo seu cofator

$~~$

$\underbrace{Veja:}$

• Primeiro vamos escolher uma fila (linha ou coluna) que tenha mais zeros, assim vai ter menos contas. Vamos escolher a segunda linha pois possui dois zeros:

$\Rightarrow~~\begin{vmatrix}0&1&0&3\end{vmatrix}$

• Como diz o teorema, o determinante será a soma entre cada elemento dessa linha multiplicado pelo seu respectivo cofator:

$Det~(A)=0\cdot C_{21}+1\cdot C_{22}+0\cdot C_{23}+3\cdot C_{24}$

• Tendo os zeros multiplicando, podemos desconsiderar, ficando somente:

$Det~(A)=1\cdot C_{22}+3\cdot C_{24}$

$~~$$~~$

=> Agora vamos calcular os cofatores. A fórmula é dada por:

$C_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot D_{ij}$  

=> Obs.: lembre-se que i = linha, e j = coluna  //  para calcular o Dij, exclua a linha e a coluna formando uma matriz 3x3, e aí calcule o determinante aplicando a Regra de Sarrus

$~~$

Cofator linha 2 coluna 2 :

$C_{22}=(-1)^{2+2}\cdot D_{22}$

$C_{22}=(-1)^4\cdot \begin{bmatrix}1&-1&4\\3&-6&-1\\2&-2&2\end{bmatrix}$

Pela Regra de Sarrus: repita as duas colunas inicias ao lado da matriz, faça a multiplicação da diagonal principal e subtraia da diagonal secundária

$C_{22}=1\cdot \begin{vmatrix}1&-1&4\\3&-6&-1\\2&-2&2\end{vmatrix}\begin{matrix}1&-1\\3&-6&\\2&-2\end{matrix}$

$C_{22}=1.(-6).2+(-1).(-1).2+4.3.(-2)-4.(-6).2+1.(-1).(-2)+(-1).3.2$

$C_{22}=-12+2-24-(-48+2-6)$

$C_{22}=-34-(-52)$

$C_{22}=-34+52$

$\boxed{C_{22}=18}$

$~~$

Cofator linha 2 coluna 4 :

$C_{24}=(-1)^{2+4}\cdot D_{24}$

$C_{24}=(-1)^6\cdot \begin{bmatrix}1&6&-1\\3&-5&-6\\2&0&-2\end{bmatrix}$

$C_{24}=1\cdot \begin{vmatrix}1&6&-1\\3&-5&-6\\2&0&-2\end{vmatrix}\begin{matrix}1&6\\3&-5&\\2&0\end{matrix}$

$C_{24}=1.(-5).(-2)+6.(-6).2+(-1).3.0-(-1).(-5).2+1.(-6).0+6.3.(-2)$

$C_{24}=10-72-0-(10-0-36)$

$C_{24}=-62-(-26)$

$C_{24}=-62+26$

$\boxed{C_{24}=-36}$

$~~$

• Encontrado os cofatores, basta substituir para encontrarmos o determinante:

$Det~(A)=1\cdot C_{22}+3\cdot C_{24}$

$Det~(A)=1\cdot18+3\cdot -36$

$Det~(A)=18-108$

$\boxed{Det~(A)=-90}$

$~~$

Resposta: O determinante da matriz A é - 90

$~~$

Att. Nasgovaskov

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$~~$

Veja também, sobre cofatores:

https://brainly.com.br/tarefa/33947767