Question

Calcule o determinante: [ 1 -5 9 , 3 -5 16, 2 0 7]

Answer 1

     1      -5      9      1     -5

     3      -5     16     3     -5         = -35 - 160 + 0 - ( -90 + 0 - 105)
  
     2        0      7      2      0
                                                   = -35 - 160 + 0 + 90 + 0 + 105  = 0
                                
 
                                                    

     

Answer 2

$\displaystyle A= \left[\begin{array}{ccc}1&-5&9\\3&-5&16\\2&0&7\end{array}\right]\\\\ \left[\begin{array}{ccccc}1&-5&9&1&-5\\3&-5&16&3&-5\\2&0&7&2&0\end{array}\right]\implies det(A)=soma~dos~produtos~das~\\diagonais~paralelas~a~diagonal~principal-a~soma~dos~produtos\\das~diagonais~paralelas~a~diagonal~secundaria.\\\\ det(A)=[(1\cdot-5\cdot7)+(-5\cdot16\cdot2)+(9\cdot3\cdot0)]-[(9\cdot-5\cdot2)+\\(1\cdot16\cdot0)+(-5\cdot3\cdot7)]=[(-35)+(-160)+(0)]-[(-90)+(0)\\+(-105)]=[-35-160]-[-90-105]=-195+195=\boxed{0}$
$det(A)=\boxed{0}$

Por cofator (teorema de Laplace):
Cofator é um complemento algébrico de uma matriz quadrada de ordem n, ele é relativo a um elemento Aij da matriz.
$\left[\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right] =A\\\\cofat(a_{ij})=-1^{i+j}.det(M-a_{i}a_{j})\\\\ cofat(a_{12})=A_{12}=-1^{1+2}. \left[\begin{array}{cc}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{array}\right] =-1^{3}.(a_{22}.a_{33})-(a_{23}.a_{32})$ (cofator pode ser representado pela letra maiscula ou cofat(a))

Teorema:
O determinante de uma matriz quadrada de ordem superior a 2 pode ser obtida pela soma dos produtos de uma linha ou coluna qualquer pelos seus respectivos cofatores:
$\boxed{\displaystyle det(M)=\sum\limits_{i=1}^{m}a_{ij}A_{ij}\Longleftrightarrow\sum\limits^{n}_{j=1}a_{ij}A_{ij}}$
Então:
$\displaystyle M_{3x3}= \left[\begin{array}{ccc}1&-5&9\\3&-5&16\\2&0&7\end{array}\right]\\\\i)calcular~cofatores~de~uma~linha~ou~coluna\\ (usarei~a~primeira~linha):$
$\displaystyle A_{11}=-1^{2}\cdot\left|\begin{array}{cc}-5&16\\0&7\end{array}\right|=1.(-5\cdot7)-(16\cdot0)=\boxed{-35}\\\\A_{12}=-1^{3}\cdot\left|\begin{array}{cc}3&16\\2&7\end{array}\right|=-1.(3.7)-(2.16)=-21+32=\boxed{11}\\\\A_{13}=-1^{4}\cdot\left|\begin{array}{cc}3&-5\\2&0\end{array}\right|=1\cdot(3\cdot0)-(-5\cdot2)=10=\boxed{10}$

Pelo teorema:
$\displaystyle det(M)=\sum\limits_{j=1}^{3}a_{1j}\cdot A_{1j}=(a_{11}\cdot A_{11})+(a_{12}\cdot A_{12})+(a_{13}\cdot A_{13})=\\(1\cdot-35)+(-5\cdot 11)+(9\cdot 10)=-35-55+90=\boxed{0}$

O mesmo resultado encontrado com a fórmula normal de determinante!!