Question

calcule o desenvolvimento do binomio de newton:a) (2x+2)4 ; b) (3x-1)3

Answer 1

• Como desenvolver binômios de Newton?

Vou ensinar a forma mais fácil de "construir" estas expansões. Utilizaremos o Triângulo de Pascal para encontrar os coeficientes corretos, lembrando que a linha de coeficientes que queremos é sempre uma unidade a mais que o expoente. Observaremos o sinal entre os polinômios, se ele for ( + ), todos os sinais da sua expansão binomial serão ( + ). Se ele for ( - ), os sinais serão alternados, começando com ( + ). E por fim, elevaremos os termos em ordem decrescente para o primeiro e crescente para o segundo, começando do expoente original e terminando em zero e do 0 e terminando no expoente original respectivamente. Não se preocupem se não tiverem entendido, no exemplo vai ficar mais claro.

Exemplo:

$(2x+2)^4$

• 1º Passo: Procure no triângulo de pascal (imagem) os coeficientes da expansão.

$(2x+2)^4 = 1 \ 4 \ 6 \ 4 \ 1$

• 2º Passo: Observe o sinal, como ele é positivo todos os sinais da expansão também serão.

$(2x+2)^4 = 1 + 4 + 6 + 4 + 1$

• 3º Passo: Insira ao lado de cada coeficiente o primeiro termo com sua potência começando do 4 e caindo até 0. Faça o mesmo com o segundo termo, agora com os expoentes começando em 0 e terminando em 4.

$(2x+2)^4 = 1(2x)^4(2)^0 + 4(2x)^3(2)^1 + 6(2x)^2(2)^2 + 4(2x)^1(2)^3 + 1(2x)^0(2)^4$

Seu binômio está pronto,agora é só realizar as contas.

$(2x+2)^4 = 16x^4 + 64x^3 + 96x^2 + 64x + 16$

Agora é só seguir os passos para fazer o segundo exemplo, lembrando que como o sinal agora é ( - ), a resposta terá sinais alternados:

$(3x-1)^3 = 1(3x)^3(1)^0 - 3(3x)^2(1)^1 + 3(3x)^1(1)^2 - 1(3x)^0(1)^3\\(3x-1)^3 = 27x^3 - 27x^2 + 9x^1 - 1$

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