Question

Calcule o décimo termo da PA (30,25,20)

Answer 1

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da sequência (30, 25, 20,...), tem-se que:

a)cada elemento nela presente, exceto o primeiro, será o resultado do imediatamente anterior adicionado a um mesmo valor, a saber, 5 unidades negativas (por exemplo, 25=30+(-5) e 20=25+(-5)). Se um comportamento deste tipo acontece (soma de um mesmo valor para formar os termos seguintes), tem-se uma sequência numérica especial, denominada progressão aritmética (P.A.).

b)progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;

c)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 30

d)décimo termo (a₁₀): ?

e)número de termos (n): 10

• Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 10ª), equivalente ao número de termos.

f)Embora não se saiba o valor do décimo termo, pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será negativa (afinal, os valores dos termos decrescem, aproximando-se do zero, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante negativo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será menor que zero, porque, ao comparar-se a quantidade de termos que faltam para alcançar o décimo termo, a saber, sete termos, e a diferença de cinco unidades negativas entre eles, tem-se que será maior que as vinte unidades restantes (terceiro termo) para o zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒    

r = 25 - 30 ⇒

r = -5   (Razão negativa, conforme prenunciado no item f acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o décimo termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒  

a₁₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₁₀ = 30 + (10 - 1) . (-5) ⇒  

a₁₀ = 30 + (9) . (-5) ⇒          (Veja a Observação 2.)

a₁₀ = 30 - 45 ⇒

a₁₀ = -15

Observação 2: Na parte destacada, foi aplicada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais diferentes, +x- ou -x+, resultam em sinal de negativo (-).

RESPOSTA: O décimo termo da P.A. (30, 25, 20, ...) é -15.

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VERIFICAÇÃO DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₁₀ = -15 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o décimo termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

-15 = a₁ + (10 - 1) . (-5) ⇒

-15 = a₁ + (9) . (-5) ⇒

-15 = a₁ - 45 ⇒

-15 + 45 = a₁ ⇒

30 = a₁ ⇔              (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 30                   (Provado que a₁₀ = -15.)

→Veja outras tarefas relacionadas à determinação de termos em sequências do tipo progressão aritmética e resolvidas por mim:

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