Matemática, perguntado por unhaartadesivaowz2ti, 10 meses atrás

Calcule o decimo quinto termo da PA (5,10,15,20...)

Soluções para a tarefa

Respondido por GeBEfte

Razão = a2 - a1 = 10 - 5 = 5

Pela equação do termo geral, temos:

$a_n=a_m+(n-m).r\\\\a_{15}=a_1+(15-1).5\\\\a_{15}=5+(14).5\\\\a_{15}=5+70\\\\a_{15}=75$

Respondido por viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da sequência (5, 10, 15, 20,...), tem-se:

a)progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;

b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:5

c)décimo quinto termo (a₁₅): ?

d)número de termos (n): 15 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 15ª), equivalente ao número de termos.)

e)Embora não se saiba o valor do décimo quinto termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos de crescem e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante negativo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 10 - 5 ⇒

r = 5 (Razão positiva, conforme prenunciado no item e acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o décimo quinto termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₅ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₁₅ = 5 + (15 - 1) . (5) ⇒

a₁₅ = 5 + (14) . (5) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₁₅ = 5 + 70 ⇒

a₁₅ = 75

Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O décimo oitavo termo da P.A.(5, 10, 15, 20, ...) é 75.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₁₅ = 75 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o décimo quinto termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₅ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

75 = a₁ + (15 - 1) . (5) ⇒

75 = a₁ + (14) . (5) ⇒

75 = a₁ + 70 ⇒ (Passa-se 70 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

75 - 70 = a₁ ⇒

5 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 5 (Provado que a₁₅ = 75.)

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