Matemática, perguntado por thayfer, 1 ano atrás

calcule o décimo primeiro termo da PA. (12,7,2,.....)

Soluções para a tarefa

Respondido por exalunosp

a1 = 12
a2 = 7
a3 = 2
r = 7 - 12 = -5 ***

a1 + 10r = 12 + 10 ( -5) = 12 - 50 = - 38 **** resposta

Respondido por viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da sequência (12, 7, 2,...), tem-se:

a)progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;

b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:12

c)décimo primeiro termo (a₁₁): ?

d)número de termos (n): 11

Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 11ª), equivalente ao número de termos.

e)Embora não se saiba o valor do décimo primeiro termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será negativa (afinal, os valores dos termos decrescem, aproximam-se do zero, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante negativo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será menor que zero, porque já se tem no terceiro termo apenas duas unidades antes do zero e, considerando-se que até o décimo primeiro são oito termos e que entre cada um existe três unidades a menos, dever-se-á subtrair vinte quatro unidades, mais do que suficiente para se alcançar o campo dos negativos.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 7 - 12 ⇒

r = -5 (Razão negativa, conforme prenunciado no item e acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o décimo primeiro termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₁ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₁₁ = 12 + (11 - 1) . (-5) ⇒

a₁₁ = 12 + (10) . (-5) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₁₁ = 12 - 50 ⇒

a₁₁ = -38

Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais diferentes, +x- ou -x+, resultam sempre em sinal de negativo (-).

Resposta: O décimo primeiro termo da P.A.(12, 7, 2,...) é -38.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₁₁ = -38 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o décimo primeiro termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₁ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

-38 = a₁ + (11 - 1) . (-5) ⇒

-38 = a₁ + (10) . (-5) ⇒

-38 = a₁ - 50 ⇒ (Passa-se -50 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

-38 + 50 = a₁ ⇒

12 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 12 (Provado que a₁₁ = -38.)

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