Question

calcule o conjunto solução de
log(3+x)(x2-x)=1

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se para determinar o conjunto-solução da seguinte expressão logarítmica:

log₁₀ [(3+x)*(x²-x)] = 1 ----- note: colocamos a base "10" porque quando a base é omitida subentende-se que ela seja "10".

Antes de mais nada vamos ver qual é a condição de existência. Como só existem logaritmos de números positivos, então vamos impor que o logaritmando seja maior do que zero. Ou seja, imporemos isto:

(3+x)*(x²-x) > 0 ------- se você analisar a variação de sinais desta inequação, em função de suas raízes, vai encontrar que:

-3 < x < 0, ou x > 1 .

Bem, visto isso, vamos trabalhar com a nossa expressão, que é esta:

log₁₀ [(3+x)*(x²-x)] = 1 ------ note que isto é a mesma coisa que:

10¹ = (3+x)*(x²-x) ---- ou, o que é a mesma coisa:
10 = (3+x)*(x²-x) ----- desenvolvendo, teremos:
10 = 3x²-3x+x³-x² ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos;
10 = 2x² - 3x + x³ --- ordenando, teremos:
10 = x³ + 2x² - 3x ----- passando "10" para o 1º membro, teremos:
0 = x³ + 2x² - 3x - 10 ---- ou, o que é a mesma coisa:
x³ + 2x² - 3x - 10 = 0 ----- se você aplicar as relações de Girard vai encontrar uma única raiz real e duas raízes complexas, que são:

x' = 2 <--- Esta é a única raiz real.
x'' = -2-í
x''' = -2+i

Mas como só nos importa com a raiz real, então teremos que o conjunto-solução será:

x = 2 <---- Esta é a resposta. E veja que é uma raiz válida, pois está dentro das condições de existência.

Assim, se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma:

S = { 2 }.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.